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この章のまとめ

2026年10月15日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第10章 物質中の Maxwell 方程式と光学定数

AI 生成・木下が未勉強

光学と量子エレクトロニクス　第10章 §10.7　★★★ 光学定数は線形・因果的・局所的な応答 χ(ω)\chi(\omega) から決まる。総合問題は希薄な原子の気体の屈折率と吸収

要点

  • 原子の間隔と波長の間の長さで平均すると、束縛電荷 −∇⋅P-\nabla\cdot\bm{P} と分極電流 ∂tP\partial_t\bm{P} が D=ε0E+P\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P} に入り、物質中の Maxwell 方程式 (10.5) を得る。
  • 線形・因果的・局所的な応答は P=ε0∫0∞χ(τ)E(t−τ)dτ\bm{P}=\varepsilon_0\int_0^\infty\chi(\tau)\bm{E}(t-\tau)\mathrm{d}\tau で、感受率 χ(ω)\chi(\omega) は実数性・上半面での解析性・受動性 Im⁡χ≥0\operatorname{Im}\chi\ge0 を満たす（命題 10.1）。自由電荷の伝導度は εr=1+χ+iσ/(ε0ω)\varepsilon_{\mathrm r}=1+\chi+\mathrm{i}\sigma/(\varepsilon_0\omega) にまとめる。
  • 横波の平面波は k=n~ω/ck=\tilde n\omega/c, n~=εr=n+iκ\tilde n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}=n+\mathrm{i}\kappa で進み、ε1=n2−κ2\varepsilon_1=n^2-\kappa^2, ε2=2nκ\varepsilon_2=2n\kappa。希薄な媒質では n~≈1+Nα/(2ε0)\tilde n\approx1+N\alpha/(2\varepsilon_0)。
  • 強度は I=12ncε0∣E0∣2e−αabszI=\frac12nc\varepsilon_0\lvert E_0\rvert ^2\mathrm{e}^{-\alpha_{\mathrm{abs}}z}、吸収係数 αabs=2κω/c\alpha_{\mathrm{abs}}=2\kappa\omega/c は散逸 12ωε0ε2∣E∣2\frac12\omega\varepsilon_0\varepsilon_2\lvert E\rvert ^2 と一致し、希薄な気体では αabs=Nσabs\alpha_{\mathrm{abs}}=N\sigma_{\mathrm{abs}}, σabs=ωIm⁡α/(ε0c)\sigma_{\mathrm{abs}}=\omega\operatorname{Im}\alpha/(\varepsilon_0c)。

この章は、物質の中身を1つの関数 χ(ω)\chi(\omega) に閉じ込め、その関数に課される一般的な制約（因果性と受動性）と、そこから出る光学定数の関係だけを導いた。屈折率と消衰係数、吸収係数と散逸、1原子の分極率と吸収断面積は、どれも同じ χ(ω)\chi(\omega) の実部と虚部を別の量に読み替えたものである。χ(ω)\chi(\omega) の中身を Lorentz 振動子で与え、局所場を補正するのが第11章（第11章）、上半面での解析性から実部と虚部の関係を出すのが第12章（第12章）、自由電子で与えるのが第13章（第13章）、境界で平面波をつなぐのが第14章（第14章）である。

総合問題　希薄な原子の気体の屈折率と吸収 ★★★

オリジナル共鳴の波長 λ0=780 nm\lambda_0=780\,\mathrm{nm}（ω0=2πc/λ0=2.415×1015 s−1\omega_0=2\pi c/\lambda_0=2.415\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}）、振動子強度 f=0.730f=0.730 の遷移を1つだけ持つ原子の気体を考える。各原子の分極率を Lorentz 振動子の α(ω)=f e2/mω02−ω2−iγω\alpha(\omega)=f\,\frac{e^2/m}{\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega}（mm は電子の質量）とし、減衰率を γ=2π×6.0 MHz=3.77×107 s−1\gamma=2\pi\times6.0\,\mathrm{MHz}=3.77\times10^{7}\,\mathrm{s^{-1}}、原子の数密度を N=1.0×1015 m−3N=1.0\times10^{15}\,\mathrm{m^{-3}}、気体を入れたセルの長さを L=1.0 cmL=1.0\,\mathrm{cm} とする。原子どうしの相互作用と、原子の熱運動による Doppler 効果は無視する。

  1. (1) （使う道具：10.2節・第1章の分極率）共鳴（ω=ω0\omega=\omega_0）での感受率 χ=Nα/ε0\chi=N\alpha/\varepsilon_0 の大きさを求め、希薄な近似 n~≈1+χ/2\tilde n\approx1+\chi/2 が使えることを確かめよ。
  2. (2) （使う道具：10.3節・10.4節）共鳴での吸収断面積 σ0\sigma_0、消衰係数 κ0\kappa_0、吸収係数、セルの光学的厚さと透過率を求めよ。
  3. (3) （使う道具：10.4節の式 (10.26)・第1章の離調）n−1n-1 が最大と最小になる離調 Δ=ω−ω0\Delta=\omega-\omega_0 と、その値を求めよ。赤い離調の光で nn は 11 より大きいか小さいか。
  4. (4) （使う道具：10.4節・第1章の振動子強度）吸収断面積を全周波数で積分した ∫0∞σabs(ω)dω\int_0^\infty\sigma_{\mathrm{abs}}(\omega)\mathrm{d}\omega を、近共鳴の近似で求めよ。結果が γ\gamma によらないことを示し、線幅が10倍に広がった場合（ほかの条件は同じ）の共鳴での光学的厚さを答えよ。
  5. (5) （使う道具：10.2節の式 (10.9)・10.4節）共鳴の光の電場の振幅を E0E_0 とする。1原子が電場から受け取る仕事率を求め、それを光の強度で割ると σ0\sigma_0 になることを示せ。σ0\sigma_0 を原子の大きさ（Bohr 半径 a0=5.29×10−11 ma_0=5.29\times10^{-11}\,\mathrm m を半径とする円の面積）と比べよ。
解答

(1) 共鳴では ω02−ω2=0\omega_0^2-\omega^2=0 なので α(ω0)=ife2/(mγω0)\alpha(\omega_0)=\mathrm{i} fe^2/(m\gamma\omega_0) で純虚数である。

∣χ∣=Nfe2ε0mγω0=1015×0.730×(1.602×10−19)28.854×10−12×9.109×10−31×3.77×107×2.415×1015=2.55×10−5\lvert \chi\rvert =\frac{Nfe^2}{\varepsilon_0m\gamma\omega_0}=\frac{10^{15}\times0.730\times(1.602\times10^{-19})^2}{8.854\times10^{-12}\times9.109\times10^{-31}\times3.77\times10^{7}\times2.415\times10^{15}}=2.55\times10^{-5}

で、∣χ∣≪1\lvert \chi\rvert \ll1 なので平方根を1次で展開してよい。離調があると ∣χ∣\lvert \chi\rvert はさらに小さくなるので、全周波数で希薄な近似が使える。

(2) 式 (10.25) に共鳴の Im⁡α=fe2/(mγω0)\operatorname{Im}\alpha=fe^2/(m\gamma\omega_0) を入れて

σ0=ω0ε0c⋅fe2mγω0=fe2ε0mcγ=2.06×10−13 m2.\sigma_0=\frac{\omega_0}{\varepsilon_0c}\cdot\frac{fe^2}{m\gamma\omega_0}=\frac{fe^2}{\varepsilon_0mc\gamma}=2.06\times10^{-13}\,\mathrm{m^2}.

κ0=∣χ∣/2=1.28×10−5\kappa_0=\lvert \chi\rvert /2=1.28\times10^{-5}、吸収係数は Nσ0=206 m−1N\sigma_0=206\,\mathrm{m^{-1}}（2κ0ω0/c2\kappa_0\omega_0/c でも同じ）、光学的厚さは Nσ0L=2.06N\sigma_0L=2.06、透過率は e−2.06=0.128\mathrm{e}^{-2.06}=0.128 である。屈折率の変化 κ0∼10−5\kappa_0\sim10^{-5} はごく小さいが、セルの長さ 1 cm1\,\mathrm{cm} は 1.3×1041.3\times10^4 波長に当たるので、光の9割近くが吸収される。

(3) 式 (10.26) の g(x)=−2x/(1+4x2)g(x)=-2x/(1+4x^2)（x=Δ/γx=\Delta/\gamma）を微分すると g′(x)=−2(1−4x2)/(1+4x2)2g'(x)=-2(1-4x^2)/(1+4x^2)^2 で、x=±12x=\pm\frac12 で極値を取る。x=−12x=-\frac12（Δ=−γ/2\Delta=-\gamma/2）で最大 g=+12g=+\frac12、x=+12x=+\frac12 で最小 g=−12g=-\frac12。したがって n−1n-1 の最大は Δ=−γ/2=−2π×3.0 MHz\Delta=-\gamma/2=-2\pi\times3.0\,\mathrm{MHz} で +κ0/2=+6.38×10−6+\kappa_0/2=+6.38\times10^{-6}、最小は Δ=+γ/2\Delta=+\gamma/2 で −6.38×10−6-6.38\times10^{-6} である。赤い離調（Δ<0\Delta<0）では n>1n>1 になる。

(4) 近共鳴の近似で σabs(ω)=σ0/(1+4Δ2/γ2)\sigma_{\mathrm{abs}}(\omega)=\sigma_0/(1+4\Delta^2/\gamma^2) なので、Δ\Delta についての積分（共鳴から遠い所の寄与は小さいので −∞-\infty から ∞\infty まで積分してよい）は

∫σabsdω≈σ0∫−∞∞dΔ1+4Δ2/γ2=σ0πγ2=πfe22ε0mc=1.22×10−5 m2 s−1\int\sigma_{\mathrm{abs}}\mathrm{d}\omega\approx\sigma_0\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\Delta}{1+4\Delta^2/\gamma^2}=\sigma_0\frac{\pi\gamma}{2}=\frac{\pi fe^2}{2\varepsilon_0mc}=1.22\times10^{-5}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}

で、σ0∝1/γ\sigma_0\propto1/\gamma と幅 ∝γ\propto\gamma が打ち消し合い、γ\gamma によらない。この値は近似を使わずに Lorentz 振動子の式を 00 から ∞\infty まで積分しても同じになる（検算で γ\gamma を変えて確かめた）。積分した吸収の強さは振動子強度 ff だけで決まり、線幅は吸収をどの周波数に配るかを決めるだけである。線幅が10倍になれば共鳴の σ0\sigma_0 は 1/101/10 になり、光学的厚さは 0.2060.206、透過率は 0.810.81 になる。

(5) 1原子の双極子 d=Re⁡[αE0e−iωt]\bm{d}=\operatorname{Re}[\alpha\bm{E}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}] が受け取る仕事率は、式 (10.9) の ε0χ\varepsilon_0\chi を α\alpha に置き換えて ⟨E⋅d˙⟩=12ω0Im⁡α ∣E0∣2\langle \bm{E}\cdot\dot{\bm{d}} \rangle =\frac12\omega_0\operatorname{Im}\alpha\,\lvert \bm{E}_0\rvert ^2 である。光の強度は n≈1n\approx1 で I=12cε0∣E0∣2I=\frac12c\varepsilon_0\lvert \bm{E}_0\rvert ^2 なので、比は ω0Im⁡α/(ε0c)=σ0\omega_0\operatorname{Im}\alpha/(\varepsilon_0c)=\sigma_0。NN 個の原子の分を足すと Nσ0I=αabsIN\sigma_0I=\alpha_{\mathrm{abs}}I で、強度の減り方 −dIdz-\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z} と一致する。原子の大きさの円の面積は πa02=8.8×10−21 m2\pi a_0^2=8.8\times10^{-21}\,\mathrm{m^2} で、σ0\sigma_0 はその 2.3×1072.3\times10^7 倍である。共鳴の光を吸収する原子は、自分の大きさよりはるかに大きな的として振る舞う。共鳴から離れると σabs\sigma_{\mathrm{abs}} は Δ−2\Delta^{-2} で小さくなるので、この大きな断面積は共鳴の幅 γ\gamma の中でだけ現れる。

木下の勉強ステータス

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AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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