出てくるもの（1）：複素屈折率と分散関係

光学と量子エレクトロニクス　第10章 §10.3　★★★ 平面波は $k^2=\varepsilon_{\mathrm r}\omega^2/c^2$ を満たし、$\tilde n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}=n+\mathrm{i}\kappa$ の実部が位相速度を、虚部が減衰を決める

平面波の分散関係

自由電荷を誘電関数に含めた方程式（$\rho_{\mathrm f}=0$, $\bm{J}_{\mathrm f}=0$, $\bm{M}=0$）に、平面波 $\bm{E}=\operatorname{Re}[\bm{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}]$, $\bm{B}=\operatorname{Re}[\bm{B}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}]$ を入れる。$\nabla\to\mathrm{i}\bm{k}$, $\partial_t\to-\mathrm{i}\omega$ と置き換えると、Faraday の法則と Ampère–Maxwell の式は

$$\bm{k}\times\bm{E}_0=\omega\bm{B}_0,\qquad \bm{k}\times\bm{B}_0=-\frac{\omega}{c^2}\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)\bm{E}_0\tag{10.12}$$

になる。第1式の $\bm{B}_0$ を第2式に入れると $\bm{k}\times(\bm{k}\times\bm{E}_0)=-\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_{\mathrm r}\bm{E}_0$、左辺を $\bm{k}(\bm{k}\cdot\bm{E}_0)-k^2\bm{E}_0$ と展開して

$$\Bigl(k^2-\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)\frac{\omega^2}{c^2}\Bigr)\bm{E}_0=\bm{k}(\bm{k}\cdot\bm{E}_0)\tag{10.13}$$

を得る。解は2通りある。1つは横波（$\bm{k}\cdot\bm{E}_0=0$）で、そのとき

$$k^2=\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)\frac{\omega^2}{c^2}\tag{10.14}$$

である。これが一様な媒質の中の光の分散関係である。もう1つは縦波（$\bm{k}\parallel\bm{E}_0$）で、式 (10.13) の両辺を比べると $\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=0$ のときにだけ存在する。縦波は $\bm{B}_0=0$ で光としては伝わらず、電荷の密度の振動である。金属のプラズマ振動がその例で、第13章（第13章）で扱う。

複素屈折率

式 (10.14) の平方根を

$$\tilde n(\omega)=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)}=n+\mathrm{i}\kappa,\qquad k=\tilde n\frac{\omega}{c}\tag{10.15}$$

と書き、$\tilde n$ を複素屈折率、実部 $n$ を屈折率、虚部 $\kappa$ を消衰係数と呼ぶ。平方根の2つの枝のうち $\kappa\ge0$ の側を選ぶ。受動的な媒質では $\varepsilon_2\ge0$ なので $\varepsilon_{\mathrm r}$ は上半面にあり、主値の平方根は第1象限に入って $n\ge0$, $\kappa\ge0$ の両方を満たす。$z$ 方向に進む波は

$$\bm{E}=\operatorname{Re}\Bigl[\bm{E}_0\,\mathrm{e}^{-\kappa\omega z/c}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n\omega z/c-\omega t)}\Bigr]\tag{10.16}$$

となる。実部 $n$ は位相の進み方を決め、位相速度は $c/n$、媒質の中の波長は $\lambda_0/n$（$\lambda_0=2\pi c/\omega$ は真空の波長）である。虚部 $\kappa$ は振幅の減衰を決め、真空の波長の $1/(2\pi\kappa)$ 倍の距離で振幅が $1/\mathrm{e}$ になる。$\kappa\ge0$ の枝を選んだのは、波が進む向きに減衰する（エネルギーを媒質に渡す）ためである。

$\tilde n^2=\varepsilon_{\mathrm r}$ の実部と虚部を比べると

$$\varepsilon_1=n^2-\kappa^2,\qquad \varepsilon_2=2n\kappa\tag{10.17}$$

で、逆に解けば

$$n=\sqrt{\frac{\lvert \varepsilon_{\mathrm r}\rvert +\varepsilon_1}{2}},\qquad \kappa=\sqrt{\frac{\lvert \varepsilon_{\mathrm r}\rvert -\varepsilon_1}{2}}\qquad(\lvert \varepsilon_{\mathrm r}\rvert =\sqrt{\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2})\tag{10.18}$$

である。図 10.2 は $\varepsilon_2=0.5$ を固定して $\varepsilon_1$ を動かしたときの $n$ と $\kappa$ である。

図から2つの領域が読める。$\varepsilon_1>0$ で $\varepsilon_2\ll\varepsilon_1$ のときは、式 (10.18) を $\varepsilon_2$ について展開して

$$n\approx\sqrt{\varepsilon_1},\qquad \kappa\approx\frac{\varepsilon_2}{2\sqrt{\varepsilon_1}}\tag{10.19}$$

となる。ガラスや水の可視光がこの領域で、光はほとんど減衰せずに進み、屈折率は $\varepsilon_1$ の平方根である。$\varepsilon_1<0$ で $\lvert \varepsilon_2\rvert \ll\lvert \varepsilon_1\rvert$ のときは逆に$\kappa\approx\sqrt{\lvert \varepsilon_1\rvert }$, $n\approx\varepsilon_2/(2\sqrt{\lvert \varepsilon_1\rvert })$ で、波は進まずに浸み込むだけになる。プラズマ周波数より下の金属がこの領域で、光は表面で反射される（第13章・第14章）。図の対称性は偶然でなく、$\sqrt{-\varepsilon_1+\mathrm{i}\varepsilon_2}=\sqrt{-(\varepsilon_{\mathrm r})^*}=\mathrm{i}(\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}})^*=\kappa+\mathrm{i} n$ から、$\varepsilon_1$ の符号を変えると $n$ と $\kappa$ が入れ替わる。

物質が希薄で $\lvert \chi\rvert \ll1$ のときは、平方根を1次まで展開して

$$\tilde n\approx1+\frac{\chi(\omega)}{2}=1+\frac{N\alpha(\omega)}{2\varepsilon_0},\qquad n-1\approx\frac{N\operatorname{Re}\alpha}{2\varepsilon_0},\quad \kappa\approx\frac{N\operatorname{Im}\alpha}{2\varepsilon_0}\tag{10.20}$$

となる。第1章で引いた $n\approx1+N\operatorname{Re}\alpha/(2\varepsilon_0)$ はこの式である。

磁場の振幅と位相

式 (10.12) の第1式から $\bm{B}_0=\frac{\tilde n}{c}\bm{e}_z\times\bm{E}_0$ である。$\bm{E}_0$, $\bm{B}_0$, $\bm{k}$ は右手系をなし、磁場の振幅は電場の $\lvert \tilde n\rvert /c$ 倍になる。$\tilde n$ が複素数のとき、磁場の位相は電場より $\arg\tilde n=\arctan(\kappa/n)$ だけ進む。吸収の無い媒質では電場と磁場は同じ位相で振動するが、吸収があると位相がずれる。この位相のずれが、次の節で Poynting ベクトルの時間平均を計算するときに $\operatorname{Re}\tilde n=n$ だけを残す理由になる。