当てる道具：線形応答と感受率

光学と量子エレクトロニクス　第10章 §10.2　★★★ 線形・時間並進不変・因果的・局所的な応答は1つの関数 $\chi(\omega)$ で書け、$\chi$ は実数性・上半面での解析性・受動性の3つを満たす

応答関数と感受率

物質の応答に次の4つを仮定する。線形：電場を2倍にすれば分極も2倍になる。時間並進不変：物質の性質が時間によらない。因果的：時刻 $t$ の分極は時刻 $t$ より前の電場だけで決まる。局所的：点 $\bm{r}$ の分極は同じ点 $\bm{r}$ の電場だけで決まる。さらに媒質が等方的であるとすると（異方性は第15章）、最も一般の形は

$$\bm{P}(\bm{r},t)=\varepsilon_0\int_0^\infty\chi(\tau)\,\bm{E}(\bm{r},t-\tau)\,\mathrm{d}\tau\tag{10.6}$$

である。$\chi(\tau)$ は応答関数で、時刻 $0$ に一瞬だけ加えた電場に対する分極の時間変化を表す。積分を $\tau\ge0$ に限ったことが因果性で、$\tau<0$ では $\chi(\tau)=0$ と言っても同じである。電場も分極も実数の量なので、$\chi(\tau)$ は実数である。

時間の Fourier 変換（記法の正本の流儀：$f(t)=\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\tilde f(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$）を取ると、畳み込みは積になる：

$$\tilde{\bm{P}}(\bm{r},\omega)=\varepsilon_0\chi(\omega)\tilde{\bm{E}}(\bm{r},\omega),\qquad \chi(\omega)=\int_0^\infty\chi(\tau)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\,\mathrm{d}\tau .\tag{10.7}$$

この $\chi(\omega)$ を感受率と呼ぶ。応答関数 $\chi(\tau)$ と感受率 $\chi(\omega)$ は同じ字で書き、引数で区別する。角周波数 $\omega$ の単色の電場 $\bm{E}=\operatorname{Re}[\bm{E}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ に対しては、式 (10.6) に入れて積分すれば

$$\bm{P}=\operatorname{Re}[\varepsilon_0\chi(\omega)\bm{E}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]\tag{10.8}$$

となる。$\chi(\omega)$ の絶対値が分極の振幅を、偏角が電場に対する分極の位相の遅れを表す。第1章の分極率 $\alpha(\omega)$ は1原子の双極子 $\bm{d}=\alpha\bm{E}$ の係数で、原子が希薄で互いの場を感じないなら $\bm{P}=N\alpha\bm{E}$、つまり $\chi(\omega)=N\alpha(\omega)/\varepsilon_0$ である。密な媒質で原子が感じる場が $\bm{E}$ からずれる補正（局所場）は第11章（第11章）で扱う。

感受率の3つの性質

証明

(i) $\chi(\tau)$ が実数なので $\chi(-\omega)=\int_0^\infty\chi(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau=\bigl(\int_0^\infty\chi(\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\bigr)^*$。

(ii) $\omega=\omega_1+\mathrm{i}\omega_2$（$\omega_2>0$）とすると $\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\rvert =\mathrm{e}^{-\omega_2\tau}\le1$ が $\tau\ge0$ で成り立つので、積分 (10.7) は収束し、$\omega$ について微分しても収束する。積分範囲が $\tau\ge0$ に限られていること、つまり因果性が、上半面での収束を保証している。

(iii) 単色の電場が媒質にする仕事の時間平均を計算する。単位体積あたりの仕事率は $\bm{E}\cdot\partial_t\bm{P}$ で、複素表示の時間平均の公式 $\langle \operatorname{Re}[A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]\operatorname{Re}[B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}] \rangle =\frac12\operatorname{Re}(AB^*)$ を$A=-\mathrm{i}\omega\varepsilon_0\chi\bm{E}_0$, $B=\bm{E}_0$ に使うと

$$\langle \bm{E}\cdot\frac{\partial \bm{P}}{\partial t} \rangle =\frac12\operatorname{Re}\bigl(-\mathrm{i}\omega\varepsilon_0\chi(\omega)\bigr)\lvert \bm{E}_0\rvert ^2=\frac12\omega\varepsilon_0\operatorname{Im}\chi(\omega)\,\lvert \bm{E}_0\rvert ^2\tag{10.9}$$

となる。熱平衡にある物質は、周期的な外力からエネルギーを取り出されることはない（取り出せるなら第二種の永久機関になる）ので、この量は $0$ 以上である。$\omega>0$ なら $\operatorname{Im}\chi\ge0$。

(ii) は第12章（第12章）で Kramers–Kronig の関係を出す出発点になる。$\operatorname{Re}\chi$ と $\operatorname{Im}\chi$ は独立でなく、一方を全周波数で知れば他方が決まる。(iii) は、反転分布を作った物質（第21章）では成り立たない。そのとき $\operatorname{Im}\chi<0$ になり、媒質は光を増幅する。レーザーの利得は、受動性を外部からの励起で破った状態である。

自由電荷の電流を誘電関数に入れる

金属のように自由に動ける電荷があるとき、その電流にも同じ形の線形応答を仮定し、$\tilde{\bm{J}}_{\mathrm f}(\omega)=\sigma(\omega)\tilde{\bm{E}}(\omega)$ と書く（$\sigma(\omega)$ は複素数の伝導度）。単色の場では Ampère–Maxwell の式の右辺は

$$\bm{J}_{\mathrm f}+\frac{\partial \bm{D}}{\partial t}\ \to\ \sigma\bm{E}_0-\mathrm{i}\omega\varepsilon_0(1+\chi)\bm{E}_0=-\mathrm{i}\omega\varepsilon_0\Bigl(1+\chi(\omega)+\frac{\mathrm{i}\sigma(\omega)}{\varepsilon_0\omega}\Bigr)\bm{E}_0\tag{10.10}$$

となり、伝導電流は感受率に $\mathrm{i}\sigma/(\varepsilon_0\omega)$ を足したのと区別がつかない。そこで束縛電荷と自由電荷をまとめた誘電関数

$$\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=1+\chi(\omega)+\frac{\mathrm{i}\sigma(\omega)}{\varepsilon_0\omega}\tag{10.11}$$

を定義し、$\varepsilon_{\mathrm r}=\varepsilon_1+\mathrm{i}\varepsilon_2$ と実部と虚部に分けて書く（第12・13章とハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第6章と同じ書き方）。$\omega\neq0$ では、ある電荷を「束縛」と呼ぶか「自由」と呼ぶかは帳簿の付け方の違いにすぎない。違いが見えるのは $\omega\to0$ で、自由電荷があると $\varepsilon_2\propto1/\omega$ と発散する（直流の電流が流れ続ける）。以下では、自由電荷がある場合も $\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)$ に含め、$\rho_{\mathrm f}=0$, $\bm{J}_{\mathrm f}=0$ と書き直した方程式を使う。命題 10.1 の3つの性質は $\varepsilon_{\mathrm r}-1$ についても成り立つ（$\sigma(\tau)$ も実数で因果的なため）。ただし $\omega=0$ の極は除く。