出てくるもの（2）：吸収係数とエネルギーの収支

光学と量子エレクトロニクス　第10章 §10.4　★★★ 強度は $\mathrm{e}^{-\alpha_{\mathrm{abs}}z}$ で減り、$\alpha_{\mathrm{abs}}=2\kappa\omega/c$ は媒質の散逸 $\frac12\omega\varepsilon_0\varepsilon_2\lvert E\rvert ^2$ と一致する。希薄な気体では1原子の吸収断面積 $\sigma_{\mathrm{abs}}=\omega\operatorname{Im}\alpha/(\varepsilon_0c)$ で書ける

物質中の Poynting の定理

物質中の Maxwell 方程式 (10.5) から、真空と同じ手順で Poynting の定理を作る。$\bm{H}\cdot(\nabla\times\bm{E})-\bm{E}\cdot(\nabla\times\bm{H})=\nabla\cdot(\bm{E}\times\bm{H})$ を使うと

$$-\nabla\cdot\bm{S}=\bm{E}\cdot\bm{J}_{\mathrm f}+\bm{E}\cdot\frac{\partial \bm{D}}{\partial t}+\bm{H}\cdot\frac{\partial \bm{B}}{\partial t},\qquad \bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}\tag{10.21}$$

となる。左辺は単位体積に流れ込むエネルギーの流れで、右辺は場が電荷にする仕事と場のエネルギーの変化である。単色の場で時間平均を取ると、$\bm{E}\cdot\partial_t(\varepsilon_0\bm{E})$ と$\bm{H}\cdot\partial_t\bm{B}$ は全微分なので平均が $0$ になり、残るのは $\bm{E}\cdot(\bm{J}_{\mathrm f}+\partial_t\bm{P})$ の平均である。式 (10.9) と同じ計算で

$$\langle -\nabla\cdot\bm{S} \rangle =\frac12\omega\varepsilon_0\,\varepsilon_2(\omega)\,\lvert \bm{E}_0\rvert ^2\tag{10.22}$$

を得る。誘電関数の虚部 $\varepsilon_2$ が、媒質が光から受け取って熱などに変えるエネルギーの割合を決める。受動的な媒質で $\varepsilon_2\ge0$ だったことは、流れ込むエネルギーが正であることと同じである。

吸収係数

$z$ 方向に進む平面波 (10.16) の Poynting ベクトルの時間平均を計算する。$\bm{H}_0=\bm{B}_0/\mu_0=\frac{\tilde n}{\mu_0c}\bm{e}_z\times\bm{E}_0$ と時間平均の公式から

$$I(z)=\langle S_z \rangle =\frac12\operatorname{Re}\bigl(\tilde n^*\bigr)\frac{\lvert \bm{E}_0\rvert ^2}{\mu_0c}\mathrm{e}^{-2\kappa\omega z/c}=\frac12nc\varepsilon_0\lvert \bm{E}_0\rvert ^2\,\mathrm{e}^{-\alpha_{\mathrm{abs}}z}\tag{10.23}$$

である（$1/(\mu_0c)=c\varepsilon_0$）。強度 $I=\frac12nc\varepsilon_0\lvert E_0\rvert ^2$ には屈折率の実部 $n$ だけが入り、電場と磁場の位相のずれ（前の節）が $\kappa$ の分を落とす。強度の減衰の割合

$$\alpha_{\mathrm{abs}}=\frac{2\kappa\omega}{c}=\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}\tag{10.24}$$

を吸収係数と呼ぶ。振幅は $\mathrm{e}^{-\kappa\omega z/c}$ で減り、強度はその2乗なので係数に $2$ が付く。厚さ $L$ の媒質を通った光の強度が $I(L)=I(0)\mathrm{e}^{-\alpha_{\mathrm{abs}}L}$ になることをBeer–Lambert の法則、$\alpha_{\mathrm{abs}}L$ を光学的厚さ（光学密度）と呼ぶ。

式 (10.23) から $-\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}=\alpha_{\mathrm{abs}}I=\frac{2\kappa\omega}{c}\cdot\frac12nc\varepsilon_0\lvert \bm{E}\rvert ^2=\omega\varepsilon_0n\kappa\lvert \bm{E}\rvert ^2$ で、$2n\kappa=\varepsilon_2$（式 (10.17)）を使えば式 (10.22) の右辺 $\frac12\omega\varepsilon_0\varepsilon_2\lvert \bm{E}\rvert ^2$ と一致する。波の減衰（$\kappa$）と媒質の散逸（$\varepsilon_2$）は、同じエネルギーの収支を2つの側から見たものである。

希薄な気体：1原子の吸収断面積

希薄な気体では $\kappa\approx N\operatorname{Im}\alpha/(2\varepsilon_0)$（式 (10.20)）なので

$$\alpha_{\mathrm{abs}}=N\sigma_{\mathrm{abs}}(\omega),\qquad \sigma_{\mathrm{abs}}(\omega)=\frac{\omega\operatorname{Im}\alpha(\omega)}{\varepsilon_0c}\tag{10.25}$$

と書ける。$\sigma_{\mathrm{abs}}$ は面積の次元を持ち、吸収断面積と呼ぶ。意味は1原子のエネルギーの収支から読める。双極子 $\bm{d}=\operatorname{Re}[\alpha\bm{E}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ が電場から受け取る仕事率は、式 (10.9) と同じ計算で $\frac12\omega\operatorname{Im}\alpha\,\lvert \bm{E}_0\rvert ^2$ であり、これを入射光の強度 $I=\frac12c\varepsilon_0\lvert \bm{E}_0\rvert ^2$ で割ると $\sigma_{\mathrm{abs}}$ になる。つまり原子は、面積 $\sigma_{\mathrm{abs}}$ に当たった光を残らず吸い取る的と同じだけのエネルギーを吸収する。断面積が原子の幾何学的な大きさと無関係なことは、総合問題で数値で確かめる。

第1章の Lorentz 振動子の分極率 $\alpha_{\mathrm L}=(e^2/m)/(\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega)$ に振動子強度 $f$ を掛けた $\alpha=f\alpha_{\mathrm L}$ を使うと、共鳴の近く（$\lvert \omega-\omega_0\rvert \ll\omega_0$）で$\omega_0^2-\omega^2\approx-2\omega_0\Delta$（$\Delta=\omega-\omega_0$）、$\gamma\omega\approx\gamma\omega_0$ と近似できて

$$\kappa\approx\kappa_0\frac{1}{1+4\Delta^2/\gamma^2},\qquad n-1\approx\kappa_0\frac{-2\Delta/\gamma}{1+4\Delta^2/\gamma^2},\qquad \kappa_0=\frac{Nfe^2}{2\varepsilon_0m\gamma\omega_0}\tag{10.26}$$

となる（図 10.3）。吸収 $\kappa$ は幅 $\gamma$ の Lorentz 型の山、屈折率 $n-1$ はその山の両側で符号を変える分散型の形になる。共鳴より低い周波数（$\Delta<0$、赤い離調）で $n>1$、高い周波数で $n<1$ になることは、第1章で分極率の符号から読んだことと同じである。