出てくるもの2：交流の伝導度とプラズマ振動数

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第2章 §4.2.4　★★ 振動する電場には $\sigma(\omega)=\sigma_0/(1-\mathrm{i}\omega\tau)$ で応答し、$\omega\tau\gg1$ では電子は散乱される前に加速と減速を繰り返すだけになる。$\mathrm{Re}\,\sigma$ の面積は $\tau$ によらず、プラズマ振動数より上で金属は光を通す

交流の伝導度

一様な電場 $\bm{E}(t)=\operatorname{Re}[\bm{E}_\omega\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ を考える（記法の正本の流儀で時間の因子は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$）。電場の波長が平均自由行程よりずっと長く、空間の変化を無視できるとする。$\delta f=\operatorname{Re}[\delta f_\omega\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ と置くと、線形にした式 (4.2.7) の左辺に $\partial\delta f/\partial t=-\mathrm{i}\omega\delta f$ が加わり、命題 4.2.1 を使って

$$-\mathrm{i}\omega\,\delta f_\omega-e\,\bm{E}_\omega\cdot\bm{v}\,\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon }=-\frac{\delta f_\omega}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad \delta f_\omega=\frac{e\tau}{1-\mathrm{i}\omega\tau}\,(\bm{E}_\omega\cdot\bm{v})\,\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon }$$

となる。直流の解 (4.2.9) の $\tau$ が $\tau/(1-\mathrm{i}\omega\tau)$ に置き換わっただけなので、等方な金属（$\tau$ が Fermi 面で一定）では

$$\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1-\mathrm{i}\omega\tau},\qquad \operatorname{Re}\sigma=\frac{\sigma_0}{1+\omega^2\tau^2},\qquad \operatorname{Im}\sigma=\frac{\sigma_0\,\omega\tau}{1+\omega^2\tau^2}\tag{4.2.15}$$

である（$\sigma_0=ne^2\tau/m^*$）。$\operatorname{Re}\sigma$ は電場から電子へエネルギーが移る（Joule 熱になる）割合で、$\operatorname{Im}\sigma$ は電流が電場より遅れずに $90^\circ$ 先に進む部分、すなわち電子の慣性による応答である。$\omega\tau\ll1$ では電子は1周期の間に何度も散乱され、直流と同じ $\sigma_0$ で応答する。$\omega\tau\gg1$ では1周期の間にほとんど散乱されず、$\sigma\approx\mathrm{i} ne^2/(m^*\omega)$ で、電子は自由な質量 $m^*$ の粒子として電場に合わせて往復するだけになり、エネルギーをほとんど吸収しない（図 4.2.2）。

図 4.2.2　交流の伝導度 (4.2.15) の実部（実線）と虚部（破線）。$\omega\tau=1$ で両者が等しくなり、それより高い振動数では虚部（慣性の応答）が実部（吸収）を上回る。どちらもこの章の模型の中では厳密な式で、線種は実部と虚部を区別するためだけに変えた。

和則とプラズマ振動数

$\operatorname{Re}\sigma$ を振動数で積分すると

$$\int_0^\infty\operatorname{Re}\sigma(\omega)\,\mathrm{d}\omega=\frac{\pi\sigma_0}{2\tau}=\frac{\pi ne^2}{2m^*}=\frac{\pi}{2}\varepsilon _0\omega_{\mathrm p}^2,\qquad \omega_{\mathrm p}^2=\frac{ne^2}{\varepsilon _0m^*}\tag{4.2.16}$$

で、$\tau$ によらない。散乱が強いと山は低く広くなり、弱いと高く狭くなるが、面積は電子の密度と質量だけで決まる。これは、電場をかけた直後（散乱が起きるより前の時間）には電子が散乱と無関係に $\dot{\bm{J}}=(ne^2/m^*)\bm{E}$ で加速されることを、振動数の側から言い直したものである。$\omega_{\mathrm p}$ をプラズマ振動数と呼ぶ。この章の伝導電子の数密度 $n$ は、第4部第6章と光学と量子エレクトロニクス 第13章では屈折率 $n$ と区別して $n_{\mathrm e}$ と書く（同じ量である）。和則を因果律（Kramers–Kronig の関係）から一般に導くことは光学と量子エレクトロニクス 第12章で扱う。

伝導電子の電流を分極の時間微分とみなすと、比誘電率は $\varepsilon _{\mathrm r}(\omega)=1+\mathrm{i}\sigma(\omega)/(\varepsilon _0\omega)$ で、式 (4.2.15) を入れて

$$\varepsilon _{\mathrm r}(\omega)=1-\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega(\omega+\mathrm{i}/\tau)}\;\xrightarrow{\;\omega\tau\gg1\;}\;1-\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega^2}\tag{4.2.17}$$

となる。$\omega<\omega_{\mathrm p}$ では $\varepsilon _{\mathrm r}<0$ で屈折率が純虚数になり、光は金属の中へ伝わらずに反射される。$\omega>\omega_{\mathrm p}$ では $\varepsilon _{\mathrm r}>0$ で、金属は光を通す。金属の反射・色・表面プラズモンの詳しい話は光学と量子エレクトロニクス 第13章へ、バンド間遷移が加わった実際の金属の光学応答は第4部第6章へ送る。