出てくるもの1：Fermi 面の電子だけが電流を運ぶ

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第2章 §4.2.3　★★★ 伝導度は $-\partial f_0/\partial\varepsilon$ の重みで Fermi 面に集まり、$\sigma=e^2D(\varepsilon _{\mathrm F})D$（$D=v_{\mathrm F}^2\tau/3$）の形になる。満ちたバンドは電流を運ばず、満ちかけたバンドは正孔の Drude 式で書ける

伝導度の式と Fermi 面の積分

解 (4.2.9) を電流 (4.2.3) に入れる。$f_0$ の部分は $\bm{v}(-\bm{k})=-\bm{v}(\bm{k})$ なので消え、$J_i=\sum_j\sigma_{ij}E_j$ で

$$\sigma_{ij}=2e^2\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,\tau(\varepsilon _{\bm{k}})\,v_iv_j\Bigl(-\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon }\Bigr)\tag{4.2.11}$$

となる。以下、$\tau$ と書いたら輸送緩和時間 $\tau_{\mathrm{tr}}$ のことである。ここまでは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第8章と同じ形で、$\tau$ がエネルギーによってよいことだけが違う。

金属では $k_{\mathrm B} T\ll\varepsilon _{\mathrm F}$ なので、$-\partial f_0/\partial\varepsilon$ は $\varepsilon =\mu$ のまわりの幅 $k_{\mathrm B} T$ の山である。第4部第1章の Sommerfeld 展開を使うと、滑らかな関数 $\Phi(\varepsilon )$ について $\int\Phi(\varepsilon )(-\partial f_0/\partial\varepsilon )\mathrm{d}\varepsilon =\Phi(\mu)+\frac{\pi^2}{6}( k_{\mathrm B} T)^2\Phi''(\mu)+\cdots$ で、$T\to0$ では $-\partial f_0/\partial\varepsilon \to\delta(\varepsilon -\varepsilon _{\mathrm F})$ である。$\mathrm{d}^3k$ を等エネルギー面の面積要素 $\mathrm{d} S$ とその法線方向の幅 $\mathrm{d}\varepsilon /(\hbar\lvert \bm{v}\rvert )$ に分けると、$T\to0$ で

$$\sigma_{ij}=\frac{e^2}{4\pi^3\hbar}\oint_{\mathrm{FS}}\mathrm{d} S\,\frac{\tau\,v_iv_j}{\lvert \bm{v}\rvert }\tag{4.2.12}$$

となる（$\mathrm{FS}$ は Fermi 面）。伝導度は Fermi 面の形と、その上の速度と緩和時間だけで決まる。Fermi 面の深くにある電子は、電場で押されても行き先の状態がすべて埋まっているので分布を変えられず、電流に寄与しない。

等方な Fermi 面（半径 $k_{\mathrm F}$）では $v_iv_j$ の角度平均が $\delta_{ij}v_{\mathrm F}^2/3$ で、Fermi 面の上の状態の数え方が $D(\varepsilon _{\mathrm F})$ になるので

$$\sigma=e^2D(\varepsilon _{\mathrm F})\,D,\qquad D=\frac{1}{3}v_{\mathrm F}^2\tau=\frac13v_{\mathrm F}\ell\tag{4.2.13}$$

を得る。$D$ は Fermi 面の電子がでたらめに向きを変えながら進むときの拡散係数である。この形は、伝導度が「Fermi 面の状態の数」と「その状態の電子がどれだけ遠くまで動けるか」の積であることを示す（Einstein の関係の縮退した電子の版。4.2.6節）。自由電子 $\varepsilon =\hbar^2k^2/(2m^*)$ では $D(\varepsilon _{\mathrm F})=3n/(2\varepsilon _{\mathrm F})$、$v_{\mathrm F}^2=2\varepsilon _{\mathrm F}/m^*$ を入れて $\sigma=ne^2\tau/m^*$ に戻る。Fermi 面の電子だけの式に全電子の密度 $n$ が現れる理由は、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第8章で見た部分積分（$\sigma=e^2\tau n\langle m^{*-1} \rangle$）である。

温度の補正は、$\tau$ が一定なら Sommerfeld 展開から $( k_{\mathrm B} T/\varepsilon _{\mathrm F})^2$ の大きさで、室温の金属では $10^{-4}$ 程度にすぎない。実際の金属の抵抗率は室温で温度にほぼ比例して変わるが、それは分布の温度変化でなく、$\tau$ そのものがフォノンの数で変わるためである（4.2.5節）。

満ちたバンドと正孔

部分積分した形 $\sigma_{ij}=2e^2\tau\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}f_0\,\frac{1}{\hbar}\frac{\partial v_i}{\partial k_j}$（$\tau$ 一定）を見ると、満ちたバンド（$f_0=1$）では被積分関数が周期関数 $v_i$ の微分になり、Brillouin 域で積分すると 0 になる。満ちたバンドは電場をかけても電流を運ばない。電場は各電子の $\bm{k}$ を動かすが、満ちたバンドでは押し出された電子の行き先にもともと別の電子がいて、分布全体としては何も変わらないからである。

満ちかけたバンドでは $f_0=1-(1-f_0)$ と書き換えると、満ちた部分の寄与が消えて

$$\sigma_{ij}=-2e^2\tau\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,(1-f_0)\,\frac{1}{\hbar}\frac{\partial v_i}{\partial k_j}\tag{4.2.14}$$

となる。空いた状態（正孔）のある所はバンドの上端の近くで、そこでは $\varepsilon$ が上に凸なので $\partial v_i/\partial k_j<0$ である。正孔の有効質量 $m_{\mathrm h}^*=-\hbar^2/(\partial^2\varepsilon /\partial k^2)>0$ を定めると$\sigma=pe^2\tau/m_{\mathrm h}^*$（$p$ は正孔の密度）で、電荷 $+e$・正の質量の粒子の Drude の式と同じになる。正孔の電荷の符号が電子と逆であることは、Hall 効果の符号として第4部第4章で見る。

縮退していない電子：緩和時間の平均

半導体の伝導帯の電子のように密度が小さく $\varepsilon -\mu\gg k_{\mathrm B} T$ の場合は、$f_0\approx\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon -\mu)}$（Maxwell–Boltzmann 分布）で、$-\partial f_0/\partial\varepsilon =\beta f_0$ になる。重みはもはや Fermi 面に集中せず、伝導帯の底から $k_{\mathrm B} T$ 程度の幅の全電子が寄与する。$\tau$ がエネルギーによるときは、どの電子の $\tau$ をどの重みで平均するかが問題になる。