授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第2章 §4.2.6　★★ Drude の運動方程式・移動度・2種類のキャリアの伝導度・工学の $\mathrm{e}^{j\omega t}$ の流儀・Einstein の関係を、この章の式と並べる。縮退した電子と縮退していない電子の Einstein の関係は $\sigma=e^2(\partial n/\partial\mu)D$ の1本にまとまる

Drude 模型と移動度

固体物理の授業では、電子の平均の速度 $\bm{v}_{\mathrm d}$ について

$$m^*\frac{\mathrm{d} \bm{v}_{\mathrm d}}{\mathrm{d} t}=-e\bm{E}-\frac{m^*\bm{v}_{\mathrm d}}{\tau}\tag{4.2.20}$$

を立て、定常解から $\bm{J}=-ne\bm{v}_{\mathrm d}=\sigma_0\bm{E}$、$\sigma_0=ne^2\tau/m^*$ を出す。これが Boltzmann 方程式の運動量のモーメントであることは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第8章で示した。同じ式に $\bm{v}_{\mathrm d}\propto\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ を入れると $(-\mathrm{i}\omega+1/\tau)m^*\bm{v}_{\mathrm d}=-e\bm{E}$ で、式 (4.2.15) の $\sigma(\omega)=\sigma_0/(1-\mathrm{i}\omega\tau)$ がそのまま出る。電気回路や電磁波工学の教科書は時間の因子を $\mathrm{e}^{j\omega t}$ と書くので、同じ量が $\sigma_0/(1+j\omega\tau)$ と書かれる。$j=-\mathrm{i}$ と読み替えれば同じ式である。

半導体の授業では、移動度 $\mu_{\mathrm e}=e\tau/m^*$、$\mu_{\mathrm h}=e\tau_{\mathrm h}/m_{\mathrm h}^*$ を使って、電子と正孔が両方あるときの伝導度を

$$\sigma=e\bigl(n\mu_{\mathrm e}+p\mu_{\mathrm h}\bigr)\tag{4.2.21}$$

と書く。これは式 (4.2.11) を伝導帯と価電子帯で別々に計算して足したもので、価電子帯の寄与は満ちかけたバンドの式 (4.2.14) になっている。正孔の項が正で足されるのは、正孔の電荷 $+e$ と正の有効質量の両方が電子と符号を変えており、$e^2/m^*$ の形では打ち消し合わないからである。縮退していない場合の $\tau$ は、例題 4.2.4 の $\langle \langle \tau \rangle \rangle$ と読む。

Einstein の関係

授業では、縮退していない電子について移動度と拡散係数の関係 $\mu_{\mathrm e}=eD/( k_{\mathrm B} T)$ を Einstein の関係として習う。この章の金属の式 (4.2.13) $\sigma=e^2D(\varepsilon _{\mathrm F})D$ とは見かけが違うが、どちらも

$$\sigma=e^2\,\frac{\partial n}{\partial \mu}\,D\tag{4.2.22}$$

の特別な場合である。電子密度の化学ポテンシャルでの微分 $\partial n/\partial\mu$ は、縮退した電子では $D(\varepsilon _{\mathrm F})$、縮退していない電子では $f_0\propto\mathrm{e}^{\beta\mu}$ から $n/( k_{\mathrm B} T)$ になる。後者を入れると $\sigma=ne^2D/( k_{\mathrm B} T)$ で、$\sigma=ne\mu_{\mathrm e}$ と比べて $\mu_{\mathrm e}=eD/( k_{\mathrm B} T)$ である。式 (4.2.22) の意味は、電場で押す流れ $\sigma\bm{E}/(-e)$ と、密度の勾配で起きる拡散の流れ $-D\nabla n$ が、平衡（電気化学ポテンシャルが一様）で打ち消し合うことである。揺らぎと応答の一般的な関係としての導出は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第9章にある。

平均自由行程の見積もりも、金属と半導体で使う速さが違う。金属では Fermi 面の電子だけが運ぶので $\ell=v_{\mathrm F}\tau$、縮退していない半導体では熱運動の速さ $\sqrt{3 k_{\mathrm B} T/m^*}$ 程度を使う。Drude の元の模型は金属にも熱運動の速さを使ったため、平均自由行程を1桁小さく見積もった（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第8章の銅の例題）。