何を削ったか・何の実験の量で確かめるか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第2章 §4.2.5　★★ 波束を1つのバンドに留めたこと・散乱を独立な1回ずつの Born 散乱として数えたこと・非弾性のフォノン散乱を緩和時間で閉じたこと・電子間の相互作用を削った。抵抗率の温度変化（Matthiessen 則と Bloch–Grüneisen の式）と残留抵抗比で確かめる

削ったもの

1つめは、電子を1つのバンドの中に留まる点状の波束とみなしたことである（式 (4.2.2)）。これは外場が格子間隔と Fermi 波長に比べてゆっくり変わり、注目するバンドが他のバンドとエネルギーで離れているときの極限で、電場が強いとバンドの間をトンネルで移る（Zener のトンネル）。バンドの間の遷移を戻すと、Berry 曲率による異常速度という補正も現れる（第5部第5章）。

2つめは、不純物による散乱を、互いに独立な1回ずつの散乱として Born 近似で数えたことである（式 (4.2.5)）。不純物の位置について平均したときに交差項を捨てたので、1つの電子の波が別々の不純物で散乱されてから干渉する効果は入っていない。これを戻すと、時間を逆にたどる2つの経路の干渉で後方散乱がわずかに強まり、伝導度が下がる（弱局在）。その補正の大きさは $1/(k_{\mathrm F}\ell)$ の程度で、例題 4.2.1 の銅では $2\times10^{-3}$ である。乱れが強く $k_{\mathrm F}\ell$ が1に近づくと、この展開そのものが使えなくなり、平均自由行程が格子間隔より短いという描像は意味を失う（Mott–Ioffe–Regel の限界）。

3つめは、フォノンによる散乱を緩和時間で閉じたことである。フォノンの散乱では電子のエネルギーが $\hbar\omega_s(\bm{q})$ だけ変わり、命題 4.2.1 の証明で使った「$\lvert \bm{k}'\rvert =\lvert \bm{k}\rvert$」が成り立たない。このとき衝突の項は $-\delta f/\tau$ の形に厳密には書けず、緩和時間近似は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第8章の C 型の近似に戻る。

4つめは、電子どうしの相互作用である。相互作用を戻しても、Fermi 面の近くの励起は寿命の長い準粒子として振る舞い（第5部第1章）、この章の描像は準粒子について成り立つ。電子どうしの衝突は、格子の周期で運動量を逆格子ベクトルの分だけ受け渡す過程（Umklapp 過程）がなければ電子の全運動量を保存するので、それだけでは電流を減衰させない。

何の実験の量で確かめるか：抵抗率の温度変化

散乱の原因が不純物とフォノンの2つあるとき、散乱の率を足して $1/\tau=1/\tau_{\mathrm{imp}}+1/\tau_{\mathrm{ph}}(T)$ とすると、$\rho=m^*/(ne^2\tau)$ から

$$\rho(T)=\rho_0+\rho_{\mathrm{ph}}(T)\tag{4.2.18}$$

となる。不純物による部分 $\rho_0$ は温度によらず（残留抵抗）、フォノンによる部分は低温で 0 に向かう。これを Matthiessen 則と呼ぶ。2つの散乱の $\tau$ が Fermi 面の上で違う形に依存すると、伝導度は率の和の逆数の Fermi 面の平均になり、抵抗率は厳密には足し算にならない。Matthiessen 則はその差を無視した近似である。

フォノンの部分について、フォノンの散乱の率を、電子が受け取る運動量の大きさと散乱の角度の重み $1-\cos\theta$ を数えて見積もると、Bloch–Grüneisen の式

$$\rho_{\mathrm{ph}}(T)=C\Bigl(\frac{T}{\Theta_{\mathrm R}}\Bigr)^5\int_0^{\Theta_{\mathrm R}/T}\frac{x^5\,\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-1)^2}\,\mathrm{d} x\tag{4.2.19}$$

が得られる（$\Theta_{\mathrm R}$ は Debye 温度に近い特性温度、$C$ は定数）。高温 $T\gg\Theta_{\mathrm R}$ では被積分関数が $x^3$ に近づき、$\rho_{\mathrm{ph}}\approx C\,T/(4\Theta_{\mathrm R})$ と温度に比例する。これはフォノンの数が $k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega)$ に比例して増えるためである。低温 $T\ll\Theta_{\mathrm R}$ では積分の上限を $\infty$ にして $\int_0^\infty x^5\mathrm{e}^x/(\mathrm{e}^x-1)^2\mathrm{d} x=5!\,\zeta(5)=124.4$ で、$\rho_{\mathrm{ph}}\propto T^5$ になる。$T^5$ のうち $T^3$ は熱的に励起されるフォノンの数と電子との結合の強さ（どちらも運動量の小さいフォノンほど小さい）、$T^2$ は運動量の小さいフォノンでは散乱の角度が小さく、$1-\cos\theta\propto q^2\propto T^2$ の重みしか持たないことによる。ここで4.2.2節の $1-\cos\theta$ の重みが、温度の冪として測れる量に現れる（図 4.2.3）。

図 4.2.3　フォノンによる抵抗率の Bloch–Grüneisen の式 (4.2.19)（点線）と、その高温（温度に比例）・低温（$T^5$）の極限（実線）。$T=\Theta_{\mathrm R}$ ですでに直線との差は5 % ほどで、$T\lesssim0.1\,\Theta_{\mathrm R}$ では $T^5$ の式が1割以内で合う。

測る量は、抵抗率の温度変化の形（高温で直線・低温で $T^5$ に近い減り方を経て一定値 $\rho_0$）と、室温と液体ヘリウム温度（$4.2\,\mathrm K$）の抵抗率の比である残留抵抗比 $\rho(300\,\mathrm K)/\rho(4.2\,\mathrm K)$ の2つである。残留抵抗比は $\rho_0$、すなわち不純物と欠陥の量を測り、金属の純度の指標として使われる。もう1つの確かめ方は交流の側で、反射率が急に落ちる振動数からプラズマ振動数 $\omega_{\mathrm p}$ を読み、式 (4.2.16) から $n/m^*$ を求めることである。直流の $\sigma_0=ne^2\tau/m^*$ と組み合わせると、$\tau$ を $n$ と $m^*$ から切り離して決めることができる。