つなぎ：解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章から借りるものと、2バンドの公式

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第5章 §5.5.1　★★ 借りるのは Berry 曲率の定義・異常速度・Hall 伝導度の式・Chern 数の整数性・対称性の制約の5つ。2バンドの模型では Berry 曲率が単位ベクトル $\bm{n}(\bm{k})$ の張る立体角で書け、Chern 数は $\bm{n}$ が球面を覆う回数になる

強磁性の金属に電流を流すと、外から磁場をかけなくても、電流と垂直な向きに電圧が現れる。これを異常 Hall 効果と呼ぶ。授業で習う半古典運動の式では、磁場が無ければ電子の速度は電場に沿った成分しか持たないので、この横向きの電流は出てこない。バンドの電子の波束が $\bm{k}$ 空間を動くときに Berry 位相を得て、その回転である Berry 曲率 $\Omega_n(\bm{k})$ が速度に横向きの補正（異常速度）を加える、というのが答えである。この答えを1階の Lagrangian から導く部分は、解析力学の道具がそのまま当たるので、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章へ移した。この章の最初の節は、そこから何を借りるかを短くまとめる「つなぎ」である（5.5.1節）。

残りの節で、この巻の主題である「どの $\hat H$ を選び、何を削ったか」に沿って Berry 曲率の現れる現象を読む。選ぶ $\hat H$ は、第2部第9章のグラフェンの tight-binding 模型に、副格子の準位の差と、時間反転を破る第2近接の複素数の飛び移りを足した Haldane 模型である（5.5.2節）。この模型では、磁場の正味の流束が $0$ のまま Chern 数 $1$ の絶縁体ができ、Hall 伝導度が $e^2/h$ に量子化される。出てくるものの第一は、Chern 数が $0$ でない絶縁体の端に、ギャップを横切る一方向にだけ進む状態が必ず現れることである（5.5.3節）。第二は、質量 $0$ のグラフェンでは Dirac 点のまわりの Berry 位相が $\pi$ になり、磁場の中の量子 Hall 効果が $4(N+\frac12)e^2/h$ という半整数の並びになることである（5.5.4節）。そのあと、削ったものを並べて近似の裏付けの札を貼り、強磁性金属の異常 Hall 効果と量子異常 Hall 効果の測定で確かめる（5.5.5節）。最後に授業の Hall 効果の式と並べ（5.5.6節）、まとめと総合問題で終える。スピンと軌道の結合で時間反転を保ったまま現れるトポロジカル絶縁体は、第5部第6章で扱う。

この章では、電子の電荷を $-e$（$e>0$）とする。Hall 伝導度は $j_x=\sigma_{xy}E_y$ で、Hall 抵抗率は電流を $x$ 向きに流して $y$ 向きの電場を測る $\rho_{yx}=E_y/j_x$ で定義する（この本の流儀）。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章は同じ量を $\rho_{xy}$ と書く（添字の順が逆なだけで量は同じ）。時間は時間微分の点 $\dot{\bm{r}}$、$\dot{\bm{k}}$ としてしか現れないので、ホッピングは記法の正本どおり $t$ と書く。スカラーポテンシャルは出てこないので、$\phi$ は Haldane 模型の位相に使う。

移したものと、ここで使う結論

バンド $n$ の Bloch 関数を $\psi_{n\bm{k}}(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}}(\bm{r})$ と書く。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章で導いた結論のうち、この章で使うのは次の5つである。

1つめは定義で、Berry 接続と Berry 曲率を

$$\bm{A}_n(\bm{k})=\mathrm{i}\langle u_{n\bm{k}} | \nabla_{\bm{k}}u_{n\bm{k}} \rangle ,\qquad \Omega_n(\bm{k})=\frac{\partial A_{n,y}}{\partial k_x}-\frac{\partial A_{n,x}}{\partial k_y}\tag{5.5.1}$$

とする（2次元。内積は単位胞の上でとる）。$\bm{A}_n$ は $u_{n\bm{k}}$ の位相の選び方で変わるが、$\Omega_n$ は変わらない。2つめは半古典運動で、波束の中心 $\bm{r}$ と波数 $\bm{k}$ は

$$\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr),\qquad \dot{\bm{r}}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n(\bm{k})-\dot{\bm{k}}\times\bm{\Omega}_n(\bm{k})\tag{5.5.2}$$

に従う（$\bm{\Omega}_n=\Omega_n\bm{e}_z$）。第2式の最後の項が異常速度で、電場の中では $\frac e\hbar\bm{E}\times\bm{\Omega}_n$ となって電場に垂直に向く。3つめは Hall 伝導度で、磁場の無い2次元の結晶の平衡状態について

$$\sigma_{xy}=-\frac{e^2}{\hbar}\sum_n\int_{\mathrm{BZ}}\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2}\,f_0(\varepsilon _n(\bm{k}))\,\Omega_n(\bm{k})\tag{5.5.3}$$

である。散乱の緩和時間を含まないこの部分を、異常 Hall 伝導度の内因的な部分と呼ぶ。4つめは量子化で、バンド $n$ がほかのバンドとギャップで隔たっているとき、Chern 数

$$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_n(\bm{k})\,\mathrm{d}^2k\tag{5.5.4}$$

は整数になり、Fermi 準位がギャップの中にある絶縁体では $\sigma_{xy}=-(e^2/h)\sum_{n\ \text{詰まった}}C_n$ となる。5つめは対称性の制約で、時間反転対称性があれば $\Omega_n(-\bm{k})=-\Omega_n(\bm{k})$、空間反転対称性があれば $\Omega_n(-\bm{k})=\Omega_n(\bm{k})$、両方あれば $\Omega_n\equiv0$ である。時間反転だけでも $\sigma_{xy}=0$ になる。

この巻ではこの5つを結果として使い、導き直さない。式 (5.5.2) の第2式は、第2部第9章で使った半古典運動の式に異常速度を足したものである。第2部第9章では、グラフェンの Dirac 点のように2本のバンドが接する所では半古典運動の前提が崩れると書き、扱いをこの章へ送った。この章では、Dirac 点に質量を入れてギャップを開いた模型を主に扱い、ギャップが閉じる点は「Chern 数が変わる境目」として現れる。

当てる道具：2バンドの模型の Berry 曲率

この章の模型はどれも、波数ごとに $2\times2$ の Bloch 行列

$$H(\bm{k})=g_0(\bm{k})\,\mathbb 1+\bm{g}(\bm{k})\cdot\bm{\sigma},\qquad\varepsilon _\pm(\bm{k})=g_0\pm\lvert \bm{g}\rvert ,\qquad\bm{n}(\bm{k})\coloneqq\frac{\bm{g}(\bm{k})}{\lvert \bm{g}(\bm{k})\rvert }\tag{5.5.5}$$

の形をしている。Pauli 行列 $\bm{\sigma}$ は第2部第9章と同じく A・B の副格子の2成分（擬スピン）に作用する。$g_0$ は2つのバンドを一緒に上下させるだけで固有ベクトルを変えないので、Berry 曲率は単位ベクトル $\bm{n}(\bm{k})$ だけで決まる。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第9章で、スピン $\frac12$ の $\hat H=\bm{R}\cdot\bm{\sigma}$ の固有状態の Berry 曲率を、パラメータ $\bm{R}$ の空間で求めた。下の状態（固有値 $-\lvert \bm{R}\rvert$）では $\bm{\Omega}_-(\bm{R})=+\bm{R}/(2\lvert \bm{R}\rvert ^3)$ で、原点に置いた単極子の場になる。$\bm{R}$ を $\bm{g}(\bm{k})$ とし、$\bm{k}$ 平面の微小な四辺形が $\bm{g}$ の空間に写る面要素 $\partial_{k_x}\bm{g}\times\partial_{k_y}\bm{g}\,\mathrm{d} k_x\mathrm{d} k_y$ を貫く流束を数えると、

$$\Omega_-(\bm{k})=\frac{\bm{g}\cdot(\partial_{k_x}\bm{g}\times\partial_{k_y}\bm{g})}{2\lvert \bm{g}\rvert ^3}=\frac12\,\bm{n}\cdot\bigl(\partial_{k_x}\bm{n}\times\partial_{k_y}\bm{n}\bigr),\qquad\Omega_+(\bm{k})=-\Omega_-(\bm{k})\tag{5.5.6}$$

を得る。2つめの等号は、$\bm{n}\cdot(\partial\bm{n}\times\partial\bm{n})$ を $\bm{g}=\lvert \bm{g}\rvert \bm{n}$ で書き直すと、$\lvert \bm{g}\rvert$ の微分を含む項が $\bm{n}\cdot(\bm{n}\times\cdot)=0$ で消えることから出る。$\bm{n}\cdot(\partial_{k_x}\bm{n}\times\partial_{k_y}\bm{n})\,\mathrm{d} k_x\mathrm{d} k_y$ は、$\bm{k}$ の小さな四辺形を $\bm{n}$ で単位球面へ写した像の立体角である。したがって下のバンドの Chern 数は

$$C_-=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_-\,\mathrm{d}^2k=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\bm{n}\cdot\bigl(\partial_{k_x}\bm{n}\times\partial_{k_y}\bm{n}\bigr)\,\mathrm{d}^2k\tag{5.5.7}$$

で、Brillouin 域の全体を $\bm{n}$ で写したとき、単位球面（立体角 $4\pi$）を向きを込めて何回覆うかを数える。

第2部第8章の SSH 模型では、$\bm{g}$ が $xy$ 平面の中にあり、$k$ が Brillouin 域を1周するあいだに $\bm{g}$ が原点のまわりを何回まわるか（巻き数）が端の状態の数を決めた。2次元では $\bm{g}$ が3次元の向きを持ち、巻き数の代わりに球面を覆う回数が現れる。$\bm{g}$ が $\bm{k}$ のどこでも $0$ にならない（ギャップが開いている）限り $\bm{n}$ は滑らかに決まり、覆う回数は整数のまま連続には変えられない。$C_-$ は、パラメータを動かす途中で $\bm{g}(\bm{k})=0$ となる点、つまりギャップが閉じる点が現れたときにだけ変わる。