出てくるもの2：異常 Hall 伝導度と Chern 数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第11章 §4.11.4　★★★ 異常速度を占有された状態について足すと $\sigma_{xy}=-\frac{e^2}{\hbar}\int\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2}f\,\Omega_n$。詰まったバンドでは積分が $2\pi$ の整数倍（Chern 数）になり、Hall 伝導度が $e^2/h$ の整数倍になる

占有された状態の和

2次元の結晶で、バンド $n$ の状態が分布 $f(\bm{k})$ で占められているとする。単位面積あたりの状態の数は $\mathrm{d}^2k/(2\pi)^2$ なので、電流密度は

$$\bm{j}=-e\int_{\mathrm{BZ}}\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2}\,f(\bm{k})\,\dot{\bm{r}}$$

である。磁場が無いとして式 (4.11.14) を入れる。$f$ が平衡分布 $f_0(\varepsilon _n(\bm{k}))$ なら、群速度の項は$\int f_0(\varepsilon _n)\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n\,\mathrm{d}^2k=\int\nabla_{\bm{k}}F(\varepsilon _n)\,\mathrm{d}^2k$（$F'=f_0$）で、周期関数の勾配を Brillouin 域で積分したものなので $0$ になる。群速度による普通の電流は、第3部第8章（第3部第8章）の Boltzmann 方程式で $f$ が $f_0$ からずれた分から出る。一方、異常速度の項は $f=f_0$ のままで残り、2次元で $\bm{\Omega}_n=\Omega_n\bm{e}_z$ とすると $\bm{E}\times\bm{e}_z=(E_y,-E_x)$ より

$$j_x=\sigma_{xy}E_y,\quad j_y=\sigma_{yx}E_x,\qquad\sigma_{xy}=-\sigma_{yx}=-\frac{e^2}{\hbar}\int_{\mathrm{BZ}}\frac{\mathrm{d}^2k}{(2\pi)^2}\,f_0(\bm{k})\,\Omega_n(\bm{k})\tag{4.11.15}$$

を得る。複数のバンドが占められていれば、バンドごとの和をとる。式 (4.11.15) は散乱の緩和時間を含まない。Berry 曲率だけで決まる Hall 伝導度で、異常 Hall 伝導度の内因的な部分と呼ばれる。異常速度が電子の運動に付くことは、強磁性体の Hall 効果を説明するために Karplus と Luttinger が初めて指摘した（R. Karplus and J. M. Luttinger (1954), Phys. Rev. 95, 1154）。

詰まったバンドと Chern 数

Fermi 準位がギャップの中にあり、バンド $n$ がすべて詰まっている（$f_0=1$）とき、式 (4.11.15) の積分は

$$C_n\coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_n(\bm{k})\,\mathrm{d}^2k\tag{4.11.16}$$

を使って $\sigma_{xy}=-C_n\,e^2/(2\pi\hbar)=-C_n\,e^2/h$ と書ける。$C_n$ を Chern 数と呼ぶ。

証明の筋

Brillouin 域は $k_x$ と $k_y$ の両方向に周期的なので、ドーナツの表面（トーラス）と同じく、縁の無い閉じた面である。もし Brillouin 域全体で滑らかで周期的な $u_{n\bm{k}}$ の位相が選べるなら、Stokes の定理で $\int\Omega_n\,\mathrm{d}^2k$ は境界の線積分になり、向かい合う辺の寄与が打ち消し合って $0$ になる。一般にはそのような選び方ができないので、Brillouin 域を2つの領域 $D_1$, $D_2$ に分け、それぞれで滑らかな $u^{(1)}$, $u^{(2)}$ を選ぶ。境界の線 $\Gamma$ の上で両者は位相だけ違い、$u^{(2)}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\chi(\bm{k})}u^{(1)}$、したがって $\bm{A}^{(2)}=\bm{A}^{(1)}+\nabla_{\bm{k}}\chi$ である。Stokes の定理を $D_1$, $D_2$ で別々に使うと、$\Gamma$ を逆向きにたどる2つの線積分の差が残り、

$$\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_n\,\mathrm{d}^2k=\oint_\Gamma(\bm{A}^{(1)}-\bm{A}^{(2)})\cdot\mathrm{d}\bm{k}=-\oint_\Gamma\nabla_{\bm{k}}\chi\cdot\mathrm{d}\bm{k}$$

となる。$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\chi}$ は $\Gamma$ を一周すると元に戻る1価の関数なので、$\chi$ の増分は $2\pi$ の整数倍である。よって $C_n$ は整数になる。

例題 4.11.1 の Dirac 模型で全流束が $\pi$（$C=\frac12$）になったのは、$\bm{k}$ が平面全体に広がっていて閉じた面になっていないためである。格子の模型では Brillouin 域が閉じるので、整数しか許されない。式 (4.11.15) と合わせると、

$$\sigma_{xy}=-\frac{e^2}{h}\sum_{n\ \text{詰まった}}C_n,\qquad\frac{e^2}{h}=3.874\times10^{-5}\,\mathrm{S},\quad\frac{h}{e^2}=25812.8\,\Omega\tag{4.11.17}$$

となり、絶縁体の Hall 伝導度は $e^2/h$ の整数倍に量子化される。この関係は Thouless・甲元・Nightingale・den Nijs が Kubo 公式から導いた（D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale and M. den Nijs (1982), Phys. Rev. Lett. 49, 405。著者の頭文字から TKNN の式と呼ばれる）。符号は電荷と Berry 接続の流儀で変わるので、ほかの教科書と比べるときは $\lvert \sigma_{xy}\rvert =\lvert C\rvert e^2/h$ の形で照らし合わせる（この本の流儀）。

格子の模型

具体例として、正方格子（格子定数 $a$）の2バンド模型

$$\hat H(\bm{k})=t_{\mathrm h}\bigl[\sin(k_xa)\,\sigma_x+\sin(k_ya)\,\sigma_y+\bigl(\lambda+\cos(k_xa)+\cos(k_ya)\bigr)\sigma_z\bigr]\tag{4.11.18}$$

をとる（X.-L. Qi, Y.-S. Wu and S.-C. Zhang (2006), Phys. Rev. B 74, 085308 にちなみ Qi–Wu–Zhang 模型と呼ばれる）。$\lambda$ は無次元のパラメータである。$\hat H(\bm{k})=\bm{g}(\bm{k})\cdot\bm{\sigma}$ の形で、2つのバンドのエネルギーは $\pm\lvert \bm{g}\rvert$、$\lvert \bm{g}\rvert =0$ となる点でだけギャップが閉じる。$\sin(k_xa)=\sin(k_ya)=0$ を満たすのは $k_xa,k_ya\in\{0,\pi\}$ の4点で、そこで $g_z$ は $\lambda+2$、$\lambda$（2点）、$\lambda-2$ になる。したがってギャップが閉じるのは $\lambda=-2,0,2$ だけで、その間では Chern 数は変わらない（整数が連続的に変わることはできないため）。Brillouin 域を $60\times60$ の格子に区切り、各小正方形の4辺で $\langle u(\bm{k}) | u(\bm{k}+\Delta\bm{k}) \rangle$ の位相を掛け合わせて Berry 位相を足し上げると（T. Fukui, Y. Hatsugai and H. Suzuki (2005), J. Phys. Soc. Jpn. 74, 1674 の方法）、図 4.11.2 の値を得る。

Bloch 振動に付く横ずれ

詰まったバンドの電子1つ1つが何をしているかを、第10章の Bloch 振動で見る。$x$ 方向に一様な電場 $E$ をかけると $\hbar\dot k_x=-eE$ で、$k_x$ は周期 $T_{\mathrm B}=2\pi\hbar/(eEa)$ で Brillouin 域を一周する。$x$ 方向には第10章の Bloch 振動をするが、$y$ 方向の速度は式 (4.11.12) から$\dot y=\frac1\hbar\partial_{k_y}\varepsilon _n+\dot k_x\Omega_n$ である（$\dot{\bm{k}}\times\bm{e}_z=(\dot k_y,-\dot k_x)$ に注意）。1周期で $y$ が進む距離は、第2項について

$$\Delta y=\int_0^{T_{\mathrm B}}\dot k_x\,\Omega_n\,\mathrm{d} t=\int_{k_{x0}}^{k_{x0}-2\pi/a}\Omega_n(k_x,k_y)\,\mathrm{d} k_x=-\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\Omega_n(k_x,k_y)\,\mathrm{d} k_x$$

である。1本の $k_y$ の線ごとには、この値は整数とは限らない。ところが詰まったバンドのすべての $k_y$ について平均すると（第1項の $\partial_{k_y}\varepsilon _n$ は平均で $0$）、

$$\langle\Delta y\rangle=-\frac{a}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_n\,\mathrm{d}^2k=-C_n\,a\tag{4.11.19}$$

となる。電子は Bloch 振動の1周期ごとに、平均でちょうど $C_n$ 格子間隔だけ横へずれる（図 4.11.3）。これを電流に直すと$j_y=-e\cdot\frac{1}{a^2}\cdot\frac{-C_na}{T_{\mathrm B}}=C_n\frac{e^2}{h}E$ で、$\sigma_{yx}=C_ne^2/h=-\sigma_{xy}$ となり式 (4.11.17) と一致する。Hall 伝導度の量子化は、「Bloch 振動の1周期あたりの横ずれが格子間隔の整数倍になる」と言い換えられる。これは Thouless の量子ポンプ（D. J. Thouless (1983), Phys. Rev. B 27, 6083）と同じ構造である。