出てくるもの1：座標が交換しないことと異常速度

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第11章 §4.11.3　★★★ Berry 曲率があると $\{x,y\}=\Omega_n/\hbar$。電場の中で $\bm{E}\times\bm{\Omega}_n$ の向きに速度の補正（異常速度）が付き、その速度は仕事をしない

運動方程式

式 (4.11.3) に Euler–Lagrange 方程式を当てる。$\bm{r}$ について：$\partial L/\partial\dot{\bm{r}}=\hbar\bm{k}-e\bm{A}(\bm{r},t)$ の時間微分と$\partial L/\partial\bm{r}=e\nabla\phi-e\nabla(\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A})$ を等しいとおき、第2部第2章と同じベクトルの恒等式$\nabla(\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A})-(\dot{\bm{r}}\cdot\nabla)\bm{A}=\dot{\bm{r}}\times(\nabla\times\bm{A})$ を使うと、

$$\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr),\qquad\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\quad\bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{4.11.11}$$

が出る。これは第10章の式と同じである。$\bm{k}$ について：$\partial L/\partial\dot{\bm{k}}=\hbar\bm{A}_n(\bm{k})$ の時間微分は $\hbar(\dot{\bm{k}}\cdot\nabla_{\bm{k}})\bm{A}_n$、$\partial L/\partial\bm{k}=\hbar\dot{\bm{r}}+\hbar\nabla_{\bm{k}}(\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n)-\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n$ で、同じ恒等式を $\bm{k}$ 空間で使うと

$$\boxed{\;\dot{\bm{r}}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n(\bm{k})-\dot{\bm{k}}\times\bm{\Omega}_n(\bm{k})\;}\tag{4.11.12}$$

を得る。第2項が Berry 項から出た補正で、異常速度と呼ばれる。式 (4.11.11) の $-e\dot{\bm{r}}\times\bm{B}$ と式 (4.11.12) の $-\dot{\bm{k}}\times\bm{\Omega}_n$ は、$\bm{r}$ と $\bm{k}$ を入れ替えると同じ形になっている。実空間の磁場が $\bm{k}$ の変化を曲げるのと同じ形で、$\bm{k}$ 空間の Berry 曲率が $\bm{r}$ の変化を曲げる。

括弧

磁場が無い場合（$\bm{A}=0$）に命題 4.11.1 を当てる。変数を $(\bm{r},\bm{k})$ とすると $a_{\bm{r}}=\hbar\bm{k}$、$a_{\bm{k}}=\hbar\bm{A}_n(\bm{k})$ で、

$$\omega_{r_ir_j}=0,\qquad\omega_{r_ik_j}=-\hbar\delta_{ij},\qquad\omega_{k_ir_j}=\hbar\delta_{ij},\qquad\omega_{k_ik_j}=\hbar\Bigl(\frac{\partial A_{n,j}}{\partial k_i}-\frac{\partial A_{n,i}}{\partial k_j}\Bigr)=\hbar\sum_l\epsilon_{ijl}\Omega_{n,l}.$$

これは例題 4.11.2 の $\omega$ で、位置と速度の役割を入れ替えたものである。同じ計算で逆行列をとると

$$\{r_i,k_j\}=\frac{\delta_{ij}}{\hbar},\qquad\{k_i,k_j\}=0,\qquad\{r_i,r_j\}=\frac1\hbar\sum_l\epsilon_{ijl}\Omega_{n,l}(\bm{k})\tag{4.11.13}$$

となる。2次元なら $\{x,y\}=\Omega_n(\bm{k})/\hbar$ である。Berry 曲率があると、位置の成分どうしが Poisson 括弧の意味で交換しない。第1部第11章で括弧は「一方の量を生成子として他方を動かしたときの変化」だった。$\{x,y\}\neq0$ は、$y$ を生成子にとると $x$ が動くことを意味する。電場 $E\bm{e}_y$（$\phi=-Ey$）のポテンシャルエネルギー $-e\phi(\bm{r})=eEy$ は $y$ に比例するので、$\dot x=\{x,eEy\}=eE\,\Omega_n/\hbar$ という $x$ 方向の速度が出る。これが異常速度である。

括弧 (4.11.13) は、正準変数を見つけることでも確かめられる。$\bm{R}\coloneqq\bm{r}-\bm{A}_n(\bm{k})$ とおくと

$$\hbar\bm{k}\cdot\dot{\bm{r}}+\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n=\hbar\bm{k}\cdot\Bigl(\dot{\bm{R}}+\frac{\mathrm{d} \bm{A}_n}{\mathrm{d} t}\Bigr)+\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n=\hbar\bm{k}\cdot\dot{\bm{R}}+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\hbar\bm{k}\cdot\bm{A}_n\bigr)$$

なので、$(\bm{R},\hbar\bm{k})$ が Darboux の定理の正準変数である。$\{R_i,k_j\}=\delta_{ij}/\hbar$、$\{R_i,R_j\}=0$ から$\{r_i,r_j\}=\{R_i+A_{n,i},R_j+A_{n,j}\}=\frac1\hbar(\partial_{k_i}A_{n,j}-\partial_{k_j}A_{n,i})$ となり、式 (4.11.13) に戻る。ただし $\bm{R}$ は $\bm{A}_n$ のゲージを変えると変わるので、観測できる位置ではない。観測できるのは波束の中心 $\bm{r}$ で、それは正準変数ではない。第10章で $(\bm{r},\hbar\bm{k})$ を正準変数にとったのは、$\bm{\Omega}_n=0$ のときにだけ許される選び方だった。

異常速度の性質

磁場が無いとき、$\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bm{E}$ を式 (4.11.12) に入れると

$$\dot{\bm{r}}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n+\frac e\hbar\bm{E}\times\bm{\Omega}_n(\bm{k})\tag{4.11.14}$$

となる。異常速度 $\frac e\hbar\bm{E}\times\bm{\Omega}_n$ は電場に垂直なので、電場が電子にする仕事 $(-e\bm{E})\cdot\dot{\bm{r}}$ に寄与しない。磁場の Lorentz 力が仕事をしない（第2部第2章）のと同じ理由で、異常速度による電流はエネルギーを散逸させない。また異常速度は群速度と違ってバンドの傾きによらないので、バンドが平らな所や、すべての状態が詰まったバンドでも残る。この性質が次の節の主題になる。