当てる道具：1階の Lagrangian から Poisson 括弧を読む

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第11章 §4.11.2　★★★ 速度について1次の $L=\sum_ia_i(x)\dot x_i-H(x)$ では、$a$ の回転 $\omega_{ij}$ の逆行列が Poisson 括弧になる。正準でない座標の括弧もこれで読める

1階の Lagrangian

式 (4.11.3) は、変数 $x=(\bm{r},\bm{k})$ の速度 $\dot x$ について1次である。一般に、$N$ 個の変数 $x_1,\dots,x_N$ について

$$L(x,\dot x)=\sum_{i=1}^Na_i(x)\,\dot x_i-H(x)\tag{4.11.7}$$

の形の Lagrangian を1階の Lagrangian と呼ぶ。第1部第12章の相空間の作用 $\sum_ip_i\dot q_i-H$ は、$x=(q,p)$、$a_q=p$、$a_p=0$ とした特別な場合である。外場が時間によるときは $a_i$ と $H$ が $t$ を含んでもよいが、以下の議論は $t$ を止めて読めばそのまま通るので、時間によらない場合で書く。

正準の場合に確かめておく。$x=(q,p)$、$a=(p,0)$ では $\omega_{qp}=\partial_qa_p-\partial_pa_q=-1$、$\omega_{pq}=+1$ なので$\omega=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$、$\omega^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ で、$\{q,p\}=1$ となる。式 (4.11.10) は第1部第11章（第1部第11章）の Poisson 括弧の流儀と一致する。

括弧の性質とゲージ

式 (4.11.10) の括弧は、双線形・反対称で Leibniz 則を満たすことが定義から直ちに分かる。Jacobi 恒等式は、$\omega$ が $a$ の回転の形 (4.11.8) をしていること（$\partial_i\omega_{jk}+\partial_j\omega_{ki}+\partial_k\omega_{ij}=0$ が恒等的に成り立つこと）から従う。この節では証明を省くが、第1部第11章の議論（時間発展が括弧を保つこと）がそのまま使えるのはこの条件のおかげである。

$a_i\to a_i+\partial\chi/\partial x_i$ と取り替えると $L$ は全微分 $\mathrm{d}\chi/\mathrm{d} t$ だけ変わり、$\omega$ は変わらない（回転の中で $\partial_i\partial_j\chi$ が消える）。したがって括弧と運動方程式は $a$ のゲージによらず、$\omega$ だけで決まる。式 (4.11.4) の Berry 接続の取り替えは、この取り替えの一例である。

Darboux の定理と「正準でない座標」

$\omega$ が正則なら、$x$ の近くで座標を取り替えて $L$ を $\sum_iP_i\dot Q_i-H$ の形（正準の形）にすることができる。これを Darboux の定理と呼ぶ。つまり1階の Lagrangian は、どれも正準変数を持つ普通の Hamilton 系であり、新しい力学ではない。違うのは、物理で自然に選ぶ座標（ここでは位置 $\bm{r}$ と波数 $\bm{k}$）が正準変数になっているとは限らない、という点である。正準変数でない座標の組では括弧は $\{x_i,x_j\}=(\omega^{-1})_{ij}$ で、$0$ や $\pm1$ とは限らない。このことは第2部第2章で既に現れていた。磁場の中の荷電粒子では、運動学的運動量の成分どうしの括弧が $\{mv_i,mv_j\}=q\sum_k\epsilon_{ijk}B_k$ だった。