この章で選ぶ $L$：Berry 位相の項を足した波束の Lagrangian

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第11章 §4.11.1　★★★ 第10章の相空間の Lagrangian $\hbar\bm{k}\cdot\dot{\bm{r}}-\varepsilon _n$ に、周期部分 $u_{n\bm{k}}$ の Berry 位相の項 $\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n(\bm{k})$ を足す

第4部第10章（第4部第10章）では、バンドのエネルギー $\varepsilon _n(\bm{k})$ を Hamiltonian とみなし、$(\bm{r},\hbar\bm{k})$ を正準変数として Hamilton 方程式を書いた。そこから群速度 $\dot{\bm{r}}=\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n/\hbar$ と運動方程式 $\hbar\dot{\bm{k}}=-e(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B})$ が出た。この2本は固体物理の授業で習う半古典運動の式そのものである。ところが、強磁性の金属に電流を流すと、磁場をかけなくても電流と垂直な向きに電圧が現れる（異常 Hall 効果）。上の2本の式では、磁場が無ければ速度は電場の向きの成分しか持たないので、この横向きの電流は出てこない。

この章では、第10章の $\bm{r}$ と $\bm{k}$ のどちらが正準変数として正しかったのかを問い直す。バンドの中の電子の状態は、平面波の因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}$ のほかに、格子の周期を持つ部分 $u_{n\bm{k}}(\bm{r})$ を持つ。$\bm{k}$ が時間とともに動くと $u_{n\bm{k}}$ も動き、その動きが第4部第9章（第4部第9章）の Berry 位相を運ぶ。これを Lagrangian に入れると、Lagrangian は速度について1次の「1階の Lagrangian」になり、そこから出る Poisson 括弧では、位置の成分どうしの括弧 $\{x,y\}$ が $0$ でなくなる。括弧が正準の形からずれる分が Berry 曲率 $\Omega_n(\bm{k})$ で、運動方程式には速度の補正 $-\dot{\bm{k}}\times\bm{\Omega}_n$（異常速度）が付く。

4.11.1節で選ぶ Lagrangian を書き、4.11.2節で1階の Lagrangian から Poisson 括弧を読み取る道具を作る。4.11.3節から4.11.5節が「出てくるもの」で、異常速度、絶縁体の Hall 伝導度を整数にする Chern 数、磁場と Berry 曲率がそろったときに相空間の体積の測り方が変わることを順に導く。4.11.6節で、授業の半古典運動の式とHall 効果の式との対応を述べる。この章ではホッピングの大きさを時間 $t$ と区別するため $t_{\mathrm h}$ と書き、電子の電荷を $-e$（$e>0$）とする。スピンは考えない（各バンドを1重に数える）。

第10章の Lagrangian

第10章の Hamilton 方程式は、相空間の作用（第1部第12章、第1部第12章）$\int(\sum_ip_i\dot q_i-H)\,\mathrm{d} t$ の形で書ける。外から加える電磁場のポテンシャルを $\phi(\bm{r},t)$、$\bm{A}(\bm{r},t)$ とし、正準運動量 $\bm{p}=\hbar\bm{k}-e\bm{A}(\bm{r},t)$ と $H=\varepsilon _n(\bm{k})-e\phi$ を $\bm{p}\cdot\dot{\bm{r}}-H$ に入れて、変数を $\bm{p}$ でなく波数 $\bm{k}$ で書くと、

$$L_0(\bm{r},\bm{k},\dot{\bm{r}},\dot{\bm{k}})=\hbar\bm{k}\cdot\dot{\bm{r}}-\varepsilon _n(\bm{k})+e\phi(\bm{r},t)-e\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}(\bm{r},t)\tag{4.11.1}$$

である。最後の2項は第2部第2章（第2部第2章）の荷電粒子の項 $-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ に $q=-e$ を入れたもので、$\hbar\bm{k}$ は運動学的な運動量 $\bm{p}+e\bm{A}$ に当たる。$L_0$ は $\dot{\bm{k}}$ を含まないので、$\bm{k}$ についての Euler–Lagrange 方程式は$0=\hbar\dot{\bm{r}}-\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n$ となり、群速度の式がそのまま出る。

周期部分が運ぶ位相

Bloch の定理により、バンド $n$ の固有状態は $\psi_{n\bm{k}}(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}}(\bm{r})$ と書け、$u_{n\bm{k}}$ は格子の周期を持つ。$u_{n\bm{k}}$ は、$\bm{k}$ をパラメータとして含む Hamiltonian $\hat H(\bm{k})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\hat{\bm{r}}}\hat H\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\hat{\bm{r}}}$ の、単位胞の上の固有状態である。したがって $\bm{k}$ がゆっくり動くとき、電子は第4部第9章の断熱定理に従って同じバンド $n$ にとどまり、そのとき第9章の Berry 接続

$$\bm{A}_n(\bm{k})\coloneqq\mathrm{i}\langle u_{n\bm{k}} | \nabla_{\bm{k}}u_{n\bm{k}} \rangle\tag{4.11.2}$$

に沿って位相を拾う（内積は単位胞の上でとる）。$\langle u | u \rangle =1$ を微分すると $\langle u | \nabla u \rangle +\langle \nabla u | u \rangle =0$ なので$\langle u | \nabla u \rangle$ は純虚数で、$\bm{A}_n$ は実数になる。

第9章では、状態 $| n(\bm{R}(t)) \rangle$ の時間依存の Schrödinger 方程式を Lagrangian $\langle \psi | \mathrm{i}\hbar\partial_t-\hat H | \psi \rangle$ から出せること、そのとき $| n(\bm{R}(t)) \rangle$ に対して $\langle n | \mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} t | n \rangle =\hbar\dot{\bm{R}}\cdot\bm{A}_n$ という項が現れることを使った。同じ計算を、$\bm{k}$ の近くに集まった Bloch 状態の重ね合わせ（波束）に当てる。波束の中心の位置を $\bm{r}$、中心の波数を $\bm{k}$ とすると、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}$ の因子からは $\hbar\bm{k}\cdot\dot{\bm{r}}$ が、$u_{n\bm{k}}$ の因子からは $\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n(\bm{k})$ が出る。波束の広がりが外場の変化の長さに比べて小さいとして、外場の項は中心の値で置き換える。この計算はSundaram と Niu が行った（G. Sundaram and Q. Niu (1999), Phys. Rev. B 59, 14915）。導き方の細部は省き、結果の Lagrangian をこの章で選ぶものとする。

$$\boxed{\;L(\bm{r},\bm{k},\dot{\bm{r}},\dot{\bm{k}})=\hbar\bm{k}\cdot\dot{\bm{r}}+\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n(\bm{k})-\varepsilon _n(\bm{k})+e\phi(\bm{r},t)-e\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}(\bm{r},t)\;}\tag{4.11.3}$$

第10章の $L_0$ との違いは、第2項の $\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\bm{A}_n(\bm{k})$ だけである。この項は $\dot{\bm{r}}$ に比例する $-e\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}(\bm{r},t)$ と同じ形をしていて、$\bm{r}$ と $\bm{k}$ の役割を入れ替えたものになっている。$\bm{A}(\bm{r},t)$ が実空間のベクトルポテンシャルなら、$\bm{A}_n(\bm{k})$ は $\bm{k}$ 空間のベクトルポテンシャルである。

Berry 曲率とゲージ

$u_{n\bm{k}}$ の位相は固有値問題からは決まらない。$u_{n\bm{k}}\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\chi(\bm{k})}u_{n\bm{k}}$ と取り替えると、式 (4.11.2) から

$$\bm{A}_n\to\bm{A}_n+\nabla_{\bm{k}}\chi,\qquad L\to L+\hbar\dot{\bm{k}}\cdot\nabla_{\bm{k}}\chi=L+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\hbar\chi(\bm{k})\bigr)\tag{4.11.4}$$

となる。Lagrangian は時間の全微分だけ変わるので、運動方程式は変わらない（第2部第2章の電磁場のゲージ変換と同じ構造）。ゲージによらない量は回転

$$\bm{\Omega}_n(\bm{k})\coloneqq\nabla_{\bm{k}}\times\bm{A}_n(\bm{k}),\qquad \Omega_n(\bm{k})=\frac{\partial A_{n,y}}{\partial k_x}-\frac{\partial A_{n,x}}{\partial k_y}\quad(\text{2次元})\tag{4.11.5}$$

で、これを Berry 曲率と呼ぶ。$\bm{\Omega}_n$ は実空間の磁場 $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ と同じ形をした $\bm{k}$ 空間の量で、次元は長さの2乗である。第9章の Stokes の定理により、$\bm{k}$ 空間の閉じた道を一周したときの Berry 位相は、道が囲む面を貫く $\bm{\Omega}_n$ の流束に等しい。