この章のまとめ

(1) Hamilton 方程式 (4.10.5) から

$$\bm{v}(\bm{k})=\frac{2t_{\mathrm h}a}{\hbar}\bigl(\sin k_xa,\ \sin k_ya\bigr).$$

2階微分は対角で $\frac{\partial^2\varepsilon }{\partial k_x^2}=2t_{\mathrm h}a^2\cos k_xa$、$\frac{\partial^2\varepsilon }{\partial k_y^2}=2t_{\mathrm h}a^2\cos k_ya$、交差項は $0$ なので

$$\Gamma:\ \frac{2t_{\mathrm h}a^2}{\hbar^2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad \mathrm X:\ \frac{2t_{\mathrm h}a^2}{\hbar^2}\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad \mathrm M:\ \frac{2t_{\mathrm h}a^2}{\hbar^2}\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

$\Gamma$ は両方向に正の質量 $\hbar^2/(2t_{\mathrm h}a^2)$ の底（$\varepsilon =-4t_{\mathrm h}$）、M は両方向に負の質量の上の端（$\varepsilon =+4t_{\mathrm h}$）、X は $x$ 方向に負・$y$ 方向に正の鞍点（$\varepsilon =0$）である。どの点でも $\bm{v}=0$ で、$\varepsilon$ の停留点になっている。

(2) $x$ 方向の電場では $\hbar\dot k_x=-eE$、$k_y=0$ のままで、運動は1次元の場合と同じになる。周期は $T_{\mathrm B}=2\pi\hbar/(eEa)$、$\varepsilon (k_x,0)=-2t_{\mathrm h}\cos k_xa-2t_{\mathrm h}$ は幅 $4t_{\mathrm h}$ を動くので、振れ幅は $4t_{\mathrm h}/(eE)$ である。

対角の電場では $\hbar\dot k_x=\hbar\dot k_y=-eE/\sqrt2$ で、$k_x=k_y=-eEt/(\sqrt2\hbar)$。$\varepsilon$ が元に戻るのは $k_x$ が $2\pi/a$ 進んだときで、周期は$2\pi\sqrt2\hbar/(eEa)=\sqrt2\,T_{\mathrm B}$ である。対角線に沿った格子の周期は $\sqrt2a$ なので、式 (4.10.15) の $a$ を $\sqrt2a$ に替えた形と言うこともできる（ただし $\bm{k}$ が $\Gamma$ から M までの全部を通る点が違う）。$\varepsilon (k,k)=-4t_{\mathrm h}\cos ka$ は幅 $8t_{\mathrm h}$ を動くので、場に沿った方向の振れ幅はエネルギー保存 $\varepsilon +eE\,s=$ 一定（$s$ は場に沿った座標）から $8t_{\mathrm h}/(eE)$ で、$x$ 方向の場合の2倍になる。

(3) $\cos u\approx1-u^2/2$ から $\varepsilon \approx-2t_{\mathrm h}(2-a^2k_x^2/2-a^2k_y^2/2)=-4t_{\mathrm h}+t_{\mathrm h}a^2\lvert \bm{k}\rvert ^2$。等エネルギー線は半径 $k=\sqrt{(\varepsilon +4t_{\mathrm h})/(t_{\mathrm h}a^2)}$ の円で

$$\mathcal A(\varepsilon )=\pi\frac{\varepsilon +4t_{\mathrm h}}{t_{\mathrm h}a^2},\qquad m_{\mathrm c}=\frac{\hbar^2}{2\pi}\frac{\partial \mathcal A}{\partial \varepsilon }=\frac{\hbar^2}{2t_{\mathrm h}a^2}.$$

底の近くでは、サイクロトロン質量は (1) の $\Gamma$ の有効質量に一致する。等方的な放物線のバンドでは、軌道全体で決まる $m_{\mathrm c}$ と1点で決まる $m^*$ が同じになるからである。エネルギーが上がると放物近似は外れる。たとえば $\varepsilon =-3t_{\mathrm h}$ の厳密な面積は数値積分で $3.36/a^2$ で、放物近似の $\pi/a^2$ より 7% 大きい（図 4.10.3）。

(4) $\varepsilon =0$ は $\cos k_xa=-\cos k_ya=\cos(\pi-k_ya)$ で、BZ の中では $k_xa=\pm(\pi-\lvert k_y\rvert a)$、つまり $\lvert k_x\rvert +\lvert k_y\rvert =\pi/a$ の正方形である。対角線の長さ $2\pi/a$ の正方形なので面積は $\mathcal A=\frac12(2\pi/a)^2=2\pi^2/a^2$ で、BZ の面積 $4\pi^2/a^2$ のちょうど半分である。量子振動の周期は式 (4.10.23) から

$$B_{\mathrm{dH}}=\frac{\hbar}{2\pi e}\cdot\frac{2\pi^2}{a^2}=\frac{\pi\hbar}{ea^2}=\frac{3.1416\times1.0546\times10^{-34}}{1.602\times10^{-19}\times(0.40\times10^{-9})^2}=1.29\times10^4\,\mathrm T.$$

$\varepsilon =+t_{\mathrm h}$（$\cos k_xa+\cos k_ya=-\frac12$）の軌道は M を囲む（BZ の4隅にある曲線が周期性 (4.10.1) で1つの閉曲線につながる）。$\bm{k}\to\bm{k}+(\pi/a,\pi/a)$ で $\varepsilon \to-\varepsilon$ となるので、M のまわりの $\varepsilon =+t_{\mathrm h}$ の軌道の面積は、$\Gamma$ のまわりの $\varepsilon =-t_{\mathrm h}$ の軌道の面積に等しい。回る向きは、M の近くで $m^*<0$ だから速度が $\bm{k}-\bm{k}_{\mathrm M}$ と逆向きで、$\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bm{v}\times\bm{B}$ の向きも逆になり、$+z$ 側から見て時計回りである（正孔的な軌道）。

(5) $B_{\mathrm{dH}}/B=1.29\times10^4/10=1.29\times10^3$ 本の準位が $\varepsilon _{\mathrm F}$ より下にある。1つの準位あたりの面積あたりの状態数は$eB/h=1.602\times10^{-19}\times10/6.626\times10^{-34}=2.42\times10^{15}\,\mathrm m^{-2}$ で、掛けると

$$\frac{B_{\mathrm{dH}}}{B}\cdot\frac{eB}{h}=\frac{\pi\hbar}{ea^2}\cdot\frac{e}{2\pi\hbar}=\frac{1}{2a^2}=3.13\times10^{18}\,\mathrm m^{-2}$$

となる。BZ に $1/a^2$（面積あたり）の状態があり、その半分が詰まっているので、電子の面密度は確かに $1/(2a^2)$ である。$B$ が式から消えるのは、磁場が強いほど1つの準位に入る状態が増え、そのぶん $\varepsilon _{\mathrm F}$ より下の準位の数が減るからで、Onsager の関係が状態の数を正しく数えていることの確かめになっている。