出てくるもの (3)：磁場の中の閉軌道と Onsager の量子化

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第10章 §4.10.5　★★★ 磁場の中では $\hbar k_x$, $\hbar k_y$ が共役な組になり、$\bm{k}$ 空間の閉軌道の面積 $\mathcal A$ が作用変数になる。Bohr–Sommerfeld から $\mathcal A_\nu=2\pi eB(\nu+\frac12)/\hbar$

$\bm{k}$ 空間の軌道

一様な磁場 $\bm{B}=B\bm{e}_z$ だけをかける。式 (4.10.6) は $\hbar\dot{\bm{k}}=-e\,\bm{v}\times\bm{B}$ で、$\dot{\bm{k}}$ は $\bm{v}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon$ にも $\bm{B}$ にも垂直である。$\nabla_{\bm{k}}\varepsilon$ に垂直だから $\varepsilon$ は一定（式 (4.10.7) の磁場の場合）、$\bm{B}$ に垂直だから $k_z$ も一定である。したがって $\bm{k}$ は、等エネルギー面 $\varepsilon (\bm{k})=\varepsilon$ を $k_z=$ 一定の平面で切った曲線の上を動く。この曲線をサイクロトロン軌道と呼ぶ。

実空間の軌道も、$\bm{k}$ 空間の軌道から直接決まる。$\hbar\dot{\bm{k}}=-e\,\dot{\bm{r}}\times\bm{B}$ を時間で積分すると $\hbar(\bm{k}-\bm{k}_0)=-e(\bm{r}-\bm{r}_0)\times\bm{B}$ で、成分では

$$x-x_0=\frac{\hbar}{eB}(k_y-k_{y0}),\qquad y-y_0=-\frac{\hbar}{eB}(k_x-k_{x0})\tag{4.10.17}$$

である。実空間の軌道（を $\bm{B}$ に垂直な面に射影したもの）は、$\bm{k}$ 空間の軌道を $90^\circ$ 回して $\hbar/(eB)$ 倍したものになる。回転は向きを保つので、2つの軌道は同じ向きに回る。底の近くの電子では、$\bm{k}=(k,0)$、$\bm{v}=(v,0)$（$v>0$）のとき $\hbar\dot k_y=-e(\bm{v}\times\bm{B})_y=+evB>0$ だから、$+z$ 側から見て反時計回りに回る。

共役な組と作用変数

4.10.2節の式 (4.10.8) で、$\bm{B}=B\bm{e}_z$ なら $\{\hbar k_x,\hbar k_y\}=-eB$ である。そこで

$$Q\coloneqq\frac{\hbar k_y}{eB},\qquad P\coloneqq\hbar k_x,\qquad \{Q,P\}=\frac{1}{eB}\{\hbar k_y,\hbar k_x\}=1\tag{4.10.18}$$

とおくと、$(Q,P)$ は正準な組になる。Landau ゲージ $\bm{A}=(0,Bx,0)$ で書けば $P=p_x$、$Q=x+p_y/(eB)$ で、確かに $\{Q,P\}=\{x,p_x\}=1$ である。もう1つの組 $(p_y,\,\cdot\,)$ は軌道の中心の位置を表し、$H=\varepsilon (\bm{k})$ に現れない。したがって $k_z$ を止めた運動は、$(Q,P)$ についての自由度1の系$H=\varepsilon \bigl(P/\hbar,\,eBQ/\hbar\bigr)$ になる。

自由度1の閉じた軌道には、第1部第14章の作用変数 $J=\frac{1}{2\pi}\oint P\,\mathrm{d} Q$ を当てることができる。$\mathrm{d} Q=\frac{\hbar}{eB}\mathrm{d} k_y$ なので

$$J=\frac{1}{2\pi}\oint\hbar k_x\,\frac{\hbar}{eB}\mathrm{d} k_y=\frac{\hbar^2}{2\pi eB}\,\mathcal A(\varepsilon ,k_z)\tag{4.10.19}$$

となる。ここで $\mathcal A(\varepsilon ,k_z)$ は $\bm{k}$ 空間の軌道が囲む面積である。作用変数は、$\bm{k}$ 空間の面積を $\hbar^2/(2\pi eB)$ 倍したものにほかならない。

サイクロトロン質量

第1部第14章の結果 $\omega=\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} J}$ を使うと、軌道を1周する時間は

$$T_{\mathrm c}=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\frac{\partial J}{\partial \varepsilon }=\frac{\hbar^2}{eB}\frac{\partial \mathcal A}{\partial \varepsilon }\tag{4.10.20}$$

である。自由な電子の $T_{\mathrm c}=2\pi m_{\mathrm e}/(eB)$ と比べて

$$m_{\mathrm c}\coloneqq\frac{eB\,T_{\mathrm c}}{2\pi}=\frac{\hbar^2}{2\pi}\frac{\partial \mathcal A}{\partial \varepsilon }\tag{4.10.21}$$

をサイクロトロン質量と呼ぶ。自由な電子では $\mathcal A=\pi k^2=2\pi m_{\mathrm e}\varepsilon /\hbar^2$ で、$m_{\mathrm c}=m_{\mathrm e}$ に戻る。$m_{\mathrm c}$ は1点の $\bm{k}$ の有効質量テンソルでなく、軌道全体で決まる量で、等エネルギー線の面積がエネルギーとともにどれだけ速く広がるかを表す。

Onsager の量子化

量子力学では、作用変数に Bohr–Sommerfeld の条件 $J=(\nu+\gamma)\hbar$（$\nu=0,1,2,\dots$）を課す（第1部第14章・第4部第7章）。式 (4.10.19) に入れると

$$\mathcal A(\varepsilon _\nu,k_z)=\frac{2\pi eB}{\hbar}(\nu+\gamma)\tag{4.10.22}$$

となる。許される軌道は、$\bm{k}$ 空間の面積が $2\pi eB/\hbar$ の整数倍（に $\gamma$ を足したもの）のものだけである。これを Onsager の関係と呼ぶ¹1L. Onsager (1952), Phil. Mag. 43, 1006–1008.下の脚注へ閉じる。滑らかな軌道で $\gamma=\frac12$ で、自由な電子に当てると$\pi k^2=2\pi m_{\mathrm e}\varepsilon /\hbar^2=2\pi eB(\nu+\frac12)/\hbar$ から $\varepsilon _\nu=\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\frac12)$、$\omega_{\mathrm c}=eB/m_{\mathrm e}$ となり、Landau 準位に一致する（第4部第4章の総合問題 第4部第4章で、2次元振動子の閉じ込めを弱くする極限として出したもの）。バンドに Berry 位相があると $\gamma$ がずれる。これは第4部第11章で扱う。

隣り合う軌道の面積の差は $\Delta\mathcal A=2\pi eB/\hbar$ で、これは $\bm{k}$ 空間の状態の密度 $L_xL_y/(2\pi)^2$ を掛けると $L_xL_y\,eB/h$ 個の状態に当たる。1つの Landau 準位に、面積あたり $eB/h$ 個の状態が集まる。これも第4部第4章の総合問題の結果と一致する。

de Haas–van Alphen 効果

金属では、Fermi エネルギー $\varepsilon _{\mathrm F}$ より下の状態が占められている。磁場 $B$ を変えると、軌道の面積 (4.10.22) は $B$ に比例して動き、$\nu$ 番目の準位が $\varepsilon _{\mathrm F}$ を横切るたびに、占められた状態の数と全エネルギーの $B$ 依存性に折れ目ができる。準位が $\varepsilon _{\mathrm F}$ を横切るのは$\mathcal A(\varepsilon _{\mathrm F})=2\pi eB(\nu+\gamma)/\hbar$、つまり $1/B=\frac{2\pi e}{\hbar\mathcal A(\varepsilon _{\mathrm F})}(\nu+\gamma)$ のときで、磁化などの量は $1/B$ について周期

$$\Delta\Bigl(\frac1B\Bigr)=\frac{2\pi e}{\hbar\,\mathcal A_{\mathrm{ext}}},\qquad B_{\mathrm{dH}}\coloneqq\frac{1}{\Delta(1/B)}=\frac{\hbar\,\mathcal A_{\mathrm{ext}}}{2\pi e}\tag{4.10.23}$$

で振動する。3次元の Fermi 面では $k_z$ の違う多くの軌道の寄与が打ち消し合い、面積が $k_z$ について極値をとる軌道（$\mathcal A_{\mathrm{ext}}$）の寄与だけが残る。周期を測ることで、Fermi 面の断面積を測ることができる。実在の金属の Fermi 面の測定は固体の巻（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第4章）で扱う。

図 4.10.3 は、2次元の正方格子の tight-binding のバンド $\varepsilon =-2t_{\mathrm h}(\cos k_xa+\cos k_ya)$ の等エネルギー線である。底に近いエネルギーでは軌道は円に近く、自由な電子と同じ向きに回る。$\varepsilon =0$ では軌道は BZ の半分を囲む正方形になり、$\varepsilon >0$ では軌道は BZ の角 M を囲み、逆向きに回る。後者は正孔の軌道で、4.10.3節の正孔の電荷 $+e$ が、回る向きの反転として現れている。

1　L. Onsager (1952), Phil. Mag. 43, 1006–1008.