当てる道具：Hamilton 方程式と離散的な並進対称性

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第10章 §4.10.2　★★★ Hamilton 方程式から $\dot{\bm{r}}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon$ と $\hbar\dot{\bm{k}}=-e(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B})$。$\hbar\bm{k}$ は離散並進の保存量で、$\hbar\bm{G}$ の分だけ不定

Hamilton 方程式

式 (4.10.3) に Hamilton 方程式 $\dot r_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$, $\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial r_i}$ を当てる。$\bm{A}$, $\phi$ は時間によらないとする。1本目は、$\varepsilon$ の引数 $\hbar\bm{k}=\bm{p}+e\bm{A}$ を $p_i$ で微分すると $1$ なので

$$\dot r_i=\frac{\partial\varepsilon }{\partial(\hbar k_i)}=\frac1\hbar\frac{\partial \varepsilon }{\partial k_i},\qquad \dot{\bm{r}}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon (\bm{k})\eqqcolon\bm{v}(\bm{k})\tag{4.10.5}$$

になる。速度は $\bm{k}$ だけで決まり、これを群速度と呼ぶ。2本目は、$\varepsilon$ が $\bm{r}$ に $\bm{A}(\bm{r})$ を通して依存することに注意して

$$\dot p_i=-e\sum_jv_j\frac{\partial A_j}{\partial r_i}+e\frac{\partial \phi}{\partial r_i}$$

である。知りたいのは正準運動量 $\bm{p}$ でなく $\hbar\bm{k}=\bm{p}+e\bm{A}(\bm{r}(t))$ の時間変化で、$\bm{A}$ が粒子の位置を通して時間に依存する分を足すと

$$\hbar\dot k_i=\dot p_i+e\sum_j\dot r_j\frac{\partial A_i}{\partial r_j}=-e\sum_jv_j\Bigl(\frac{\partial A_j}{\partial r_i}-\frac{\partial A_i}{\partial r_j}\Bigr)+e\frac{\partial \phi}{\partial r_i}$$

となる。括弧の組み合わせは $\sum_jv_j(\partial_iA_j-\partial_jA_i)=\bigl(\bm{v}\times(\nabla\times\bm{A})\bigr)_i$ で、$\nabla\times\bm{A}=\bm{B}$、$-\nabla\phi=\bm{E}$ だから

$$\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr)\tag{4.10.6}$$

を得る。ゲージポテンシャルは消え、場 $\bm{E}$, $\bm{B}$ だけが残った。式 (4.10.5) と式 (4.10.6) の組を半古典運動方程式と呼ぶ。右辺は自由な電子の Lorentz 力と同じ形で、バンドの形は速度 $\dot{\bm{r}}=\bm{v}(\bm{k})$ を通してだけ入る。

$H$ は時間を含まないので保存する。$\bm{A}$ は $H$ の中で $\hbar\bm{k}$ の形でしか現れないから、保存するのは

$$\varepsilon (\bm{k})-e\phi(\bm{r})=\text{一定}\tag{4.10.7}$$

で、磁場はエネルギーを変えない。これも自由な電子と同じである。

$(\bm{r},\hbar\bm{k})$ の Poisson 括弧

正準変数は $(\bm{r},\bm{p})$ だが、運動を追うには $(\bm{r},\hbar\bm{k})$ のほうが便利である。この組の Poisson 括弧（第1部第11章 第1部第11章、$\{q,p\}=1$ の流儀）は

$$\{r_i,\hbar k_j\}=\delta_{ij},\qquad \{r_i,r_j\}=0,\qquad \{\hbar k_i,\hbar k_j\}=-e\sum_l\epsilon_{ijl}B_l\tag{4.10.8}$$

になる。最後の式は、$\{p_i+eA_i,\,p_j+eA_j\}=e\{p_i,A_j\}+e\{A_i,p_j\}=-e\,\partial_iA_j+e\,\partial_jA_i$ から出る。磁場があると、$\bm{k}$ の成分どうしが互いに共役な変数のようにふるまう。4.10.5節ではこの性質を使って $\bm{k}$ 空間の軌道を量子化する。Berry 曲率があるときは、ここに $\{r_i,r_j\}\neq0$ という補正が加わる（第4部第11章）。

$\hbar\bm{k}$ は何の保存量か

外場が無いとき、式 (4.10.2) は $\bm{r}$ を含まないので $\bm{r}$ は循環座標で、$\hbar\bm{k}$ が保存する。これは第1部第10章の Noether の定理で、連続な並進 $\bm{r}\to\bm{r}+\epsilon\bm{n}$ に対する保存量が $\bm{n}\cdot\hbar\bm{k}$ だということである。しかし元の1電子の問題 $\hat H_0$ は、周期ポテンシャル $V$ があるので連続な並進では不変でない。不変なのは格子ベクトル $\bm{R}$ だけずらす離散的な並進である。古典力学では、離散的な対称性から保存量は出てこない。Noether の定理は無限小の変換を使うので、連続なパラメータを持たない対称性には当てることができない。実際、周期ポテンシャルの中の古典粒子の運動量 $\bm{p}$ は保存せず、ポテンシャルの山と谷で増減を繰り返す。

量子力学では事情が違う。並進の演算子 $\hat T_{\bm{R}}$ を $(\hat T_{\bm{R}}\psi)(\bm{r})=\psi(\bm{r}+\bm{R})$ で定めると、$V$ の周期性から $\left[\hat T_{\bm{R}},\,\hat H_0\right]=0$ である。$\hat T_{\bm{R}}$ はユニタリなので、その固有値は絶対値 $1$ の複素数で、Bloch 関数では

$$\hat T_{\bm{R}}\psi_{n\bm{k}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi_{n\bm{k}}\tag{4.10.9}$$

になる。$\hat T_{\bm{R}}$ が $\hat H_0$ と交換するので、Heisenberg 描像（第4部第3章）で $\hat T_{\bm{R}}$ は時間によらず、固有値 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}$ が保存する。保存するのは $\bm{k}$ そのものでなく位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}$ なので、$\bm{k}$ は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{R}}=1$ を満たす逆格子ベクトル $\bm{G}$ の分だけ不定である。これが $\hbar\bm{k}$ を結晶運動量と呼ぶ理由で、$\hbar\bm{k}$ は運動量ではなく、離散並進の生成子の「位相」から作った量である。2つの電子やフォノンが衝突するときも、保存するのは位相の積なので、結晶運動量の和は $\hbar\bm{G}$ の分だけずれてよい（Umklapp 過程）。連続な並進なら $\bm{G}$ にあたる不定性は無く、普通の運動量保存に戻る。

半古典の Hamiltonian (4.10.2) で $\hbar\bm{k}$ が連続な並進の保存量のように見えるのは、格子の凹凸を $\varepsilon (\bm{k})$ にまとめた結果、残った1粒子が連続な並進で不変になったからである。不定性 $\hbar\bm{G}$ は、$\varepsilon$ の周期性 (4.10.1) として Hamiltonian の中に残っている。

一様な力の下では $\hbar\dot{\bm{k}}=\bm{F}$ が厳密に成り立つ

一様な力 $\bm{F}$ を加えると、全体の Hamiltonian は $\hat H=\hat H_0-\bm{F}\cdot\hat{\bm{r}}$ で、離散並進の対称性も壊れる。それでも $\hat T_{\bm{R}}$ の時間変化は簡単に求まる。1次元で $\hat T_a$ を考えると、$(\hat x\hat T_a-\hat T_a\hat x)\psi(x)=x\psi(x+a)-(x+a)\psi(x+a)$ なので $\left[\hat x,\,\hat T_a\right]=-a\hat T_a$ である。Heisenberg の運動方程式は

$$\frac{\mathrm{d} \hat T_a}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat T_a,\,\hat H\right]=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat T_a,\,-F\hat x\right]=\frac{F}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat x,\,\hat T_a\right]=\frac{\mathrm{i} Fa}{\hbar}\hat T_a$$

で、$\hat T_a(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} Fat/\hbar}\hat T_a(0)$ となる。最初に $\hat T_a$ の固有値 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}$ の状態にあれば、時刻 $t$ には固有値 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k+Ft/\hbar)a}$ の状態にある。つまり

$$\hbar\dot k=F\tag{4.10.10}$$

が、波束を作らなくても、バンドを1本に限らなくても成り立つ。これを Bloch の加速定理と呼ぶ。電場なら $F=-eE$ で、式 (4.10.6) の磁場の無い場合と一致する。近似が入るのは、「状態が同じバンドにとどまる」と仮定する所である。電場は $\bm{k}$ を動かすだけでなく、別のバンドへの遷移も起こす。その遷移が無視できる条件が、下の札に書いたギャップの条件である。

この札の根拠は G. Panati, H. Spohn, S. Teufel (2003), Commun. Math. Phys. 242, 547–578 である。空間的にゆっくり変わる外場を小さいパラメータで表し、第4部第9章の断熱定理（第4部第9章）を時間でなく空間の遅さに当てた形の議論になっている。