出てくるもの (1)：群速度・有効質量・正孔

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第10章 §4.10.3　★★★ 有効質量は $H=\varepsilon (\bm{k})$ の2階微分。満ちたバンドは電流を運ばず、1つ空いたバンドは正の電荷と正の質量を持つ正孔として動く

有効質量

速度 (4.10.5) を時間で微分し、式 (4.10.6) を使うと

$$\dot v_i=\frac1\hbar\sum_j\frac{\partial^2\varepsilon }{\partial k_i\partial k_j}\dot k_j=\sum_j\frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\varepsilon }{\partial k_i\partial k_j}F_j,\qquad \bm{F}=-e(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$$

となる。力と加速度を結ぶ係数を

$$(m^{*-1})_{ij}=\frac1{\hbar^2}\frac{\partial^2\varepsilon }{\partial k_i\partial k_j}\tag{4.10.11}$$

と書き、有効質量テンソルの逆数と呼ぶ。Newton の運動方程式 $\dot{\bm{v}}=\bm{F}/m$ の $1/m$ が、Hamiltonian $\varepsilon (\bm{k})$ の2階微分の行列に置き換わった。自由な粒子 $H=\lvert \bm{p}\rvert ^2/(2m)$ でも、$1/m$ は $H$ の $\bm{p}$ についての2階微分である。その意味で、有効質量は「質量とは何か」を Hamiltonian の言葉で定義し直したものになっている。

1次元の tight-binding (4.10.4) では

$$\frac1{m^*(k)}=\frac{2t_{\mathrm h}a^2}{\hbar^2}\cos ka,\qquad m^*(0)=\frac{\hbar^2}{2t_{\mathrm h}a^2}\tag{4.10.12}$$

である。底の近くでは正の一定の質量 $m^*(0)$ を持つ自由な粒子のようにふるまう。$ka=\pm\pi/2$ では $1/m^*=0$ で、力を加えても速度が変わらない。BZ の端の近く $k=\pi/a-\delta$ では $1/m^*<0$ で、力の向きと逆に加速される。$\varepsilon$ が上に有界だから、エネルギーを上げ続けることができず、上の端の近くでは速度を下げる向きにしか進むことができない。負の質量は、この有界性の言い換えである。

満ちたバンドは電流を運ばない

体積 $V_{\mathrm s}$ の結晶で、BZ の中の $\bm{k}$ は体積 $(2\pi)^3/V_{\mathrm s}$ ごとに1つずつ並ぶ。スピン1つのバンドの全部の状態を電子が占めるとき、電流密度は

$$\bm{j}=\frac{-e}{V_{\mathrm s}}\sum_{\bm{k}\in\mathrm{BZ}}\bm{v}(\bm{k})=-e\int_{\mathrm{BZ}}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon (\bm{k})$$

である。$\varepsilon$ は周期関数 (4.10.1) なので、1周期の範囲で微分を積分すると $0$ になる（1次元なら $\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\frac{\mathrm{d} \varepsilon }{\mathrm{d} k}\mathrm{d} k=\varepsilon (\pi/a)-\varepsilon (-\pi/a)=0$）。したがって満ちたバンドは電流を運ばない。電場をかけても、式 (4.10.10) で全部の電子の $\bm{k}$ が同じだけずれるだけで、周期性から占有の様子は BZ 全体として変わらない。これが、バンドが全部満ちた結晶（絶縁体）が電気を流さない理由である。

正孔

バンドのうち、$\bm{k}_0$ の1つだけが空いているとする。電流は満ちたバンドの電流 $0$ から、$\bm{k}_0$ の電子の寄与を引いたもので

$$\bm{j}=0-\frac{-e}{V_{\mathrm s}}\bm{v}(\bm{k}_0)=\frac{+e}{V_{\mathrm s}}\bm{v}(\bm{k}_0)\tag{4.10.13}$$

である。空いた状態は、速度 $\bm{v}(\bm{k}_0)$ で動く電荷 $+e$ の粒子と同じ電流を運ぶ。空いた状態の $\bm{k}_0$ は、そこにいるはずの電子と同じ式 (4.10.6) で動く（ほかの全部の電子が同じ式で動き、空いた所はその流れに乗って移るから）。

空いた状態がバンドの上の端の近くにあるとき、そこでは $m^*<0$ である。速度の時間変化は

$$\dot{\bm{v}}(\bm{k}_0)=\frac{1}{m^*}\bigl(-e(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})\bigr)=\frac{1}{\lvert m^*\rvert }\bigl(+e(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})\bigr)$$

で、正の電荷 $+e$ と正の質量 $\lvert m^*\rvert$ を持つ粒子の運動方程式と同じになる。これを正孔と呼ぶ。正孔は、ほとんど満ちたバンドを「空いた所の運動」として書き直したもので、新しい粒子を仮定したわけではない。上の端の負の質量と、電子の負の電荷の2つの負号が打ち消し合っている。