解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部 第10章 §4.10.4 ★★ 一様な電場の下で k k k T B = 2 π ℏ / ( e E a ) T_{\mathrm B}=2\pi\hbar/(eEa) T B = 2 π ℏ/ ( e E a ) / ( e E ) /(eE) / ( e E )
k k k 1次元の結晶に + x +x + x E E E ϕ = − E x \phi=-Ex ϕ = − E x (4.10.6) は ℏ k ˙ = − e E \hbar\dot k=-eE ℏ k ˙ = − e E
k ( t ) = k 0 − e E ℏ t (4.10.14) k(t)=k_0-\frac{eE}{\hbar}t\tag{4.10.14} k ( t ) = k 0 − ℏ e E t ( 4.10.14 )
である。自由な電子なら速度も一定の割合で増え続ける。しかしバンドの中では ε ( k ) \varepsilon (k) ε ( k ) v ( k ) v(k) v ( k ) k k k k k k 2 π / a 2\pi/a 2 π / a k k k
T B = 2 π / a e E / ℏ = 2 π ℏ e E a = h e E a , ω B = 2 π T B = e E a ℏ (4.10.15) T_{\mathrm B}=\frac{2\pi/a}{eE/\hbar}=\frac{2\pi\hbar}{eEa}=\frac{h}{eEa},\qquad \omega_{\mathrm B}=\frac{2\pi}{T_{\mathrm B}}=\frac{eEa}{\hbar}\tag{4.10.15} T B = e E /ℏ 2 π / a = e E a 2 π ℏ = e E a h , ω B = T B 2 π = ℏ e E a ( 4.10.15 )
で、これを Bloch 振動の周期と呼ぶ。
位置はエネルギー保存から直接求まる
位置 x ( t ) x(t) x ( t ) x ˙ = v ( k ( t ) ) \dot x=v(k(t)) x ˙ = v ( k ( t )) (4.10.7) を使うと積分しなくてよい。− e ϕ = e E x -e\phi=eEx − e ϕ = e E x ε ( k ) + e E x \varepsilon (k)+eEx ε ( k ) + e E x
x ( t ) = x 0 − ε ( k ( t ) ) − ε ( k 0 ) e E (4.10.16) x(t)=x_0-\frac{\varepsilon (k(t))-\varepsilon (k_0)}{eE}\tag{4.10.16} x ( t ) = x 0 − e E ε ( k ( t )) − ε ( k 0 ) ( 4.10.16 )
となる。ε \varepsilon ε 4 t h 4t_{\mathrm h} 4 t h x x x 4 t h / ( e E ) 4t_{\mathrm h}/(eE) 4 t h / ( e E ) k 0 = 0 k_0=0 k 0 = 0 ε ( k ( t ) ) − ε ( 0 ) = 2 t h ( 1 − cos ω B t ) \varepsilon (k(t))-\varepsilon (0)=2t_{\mathrm h}\bigl(1-\cos\omega_{\mathrm B}t\bigr) ε ( k ( t )) − ε ( 0 ) = 2 t h ( 1 − cos ω B t )
x ( t ) = x 0 − 2 t h e E ( 1 − cos ω B t ) x(t)=x_0-\frac{2t_{\mathrm h}}{eE}\bigl(1-\cos\omega_{\mathrm B}t\bigr) x ( t ) = x 0 − e E 2 t h ( 1 − cos ω B t )
である（図 4.10.2 ）。電子はまず力の向き（− x -x − x k k k e E x eEx e E x ε \varepsilon ε ε \varepsilon ε
図 4.10.2 一様な電場の中の Bloch 振動（1次元の tight-binding、k 0 = 0 k_0=0 k 0 = 0 k k k − π / a -\pi/a − π / a + π / a +\pi/a + π / a T B T_{\mathrm B} T B 4 t h / ( e E ) 4t_{\mathrm h}/(eE) 4 t h / ( e E ) (4.10.16) と、Hamilton 方程式を数値積分した軌道（verify_ch4-10.py）は 10 − 6 10^{-6} 1 0 − 6
Wannier–Stark の階段
Bloch 振動は周期 T B T_{\mathrm B} T B ω B \omega_{\mathrm B} ω B ℏ ω = ℏ ⋅ 2 π / T \hbar\omega=\hbar\cdot2\pi/T ℏ ω = ℏ ⋅ 2 π / T d E / d J = ω \mathrm{d} E/\mathrm{d} J=\omega d E / d J = ω J J J ℏ \hbar ℏ ℏ ω B = e E a \hbar\omega_{\mathrm B}=eEa ℏ ω B = e E a
E ν = ν e E a + 一定 , ν = 0 , ± 1 , ± 2 , … E_\nu=\nu\,eEa+\text{一定},\qquad \nu=0,\pm1,\pm2,\dots E ν = ν e E a + 一定 , ν = 0 , ± 1 , ± 2 , …
と等間隔に並ぶ。これを Wannier–Stark の階段と呼ぶ。隣の準位の間隔が、電子が格子1つ分 a a a e E a eEa e E a x → x + a x\to x+a x → x + a e E a eEa e E a
なぜ普通の金属では見えないか
普通の結晶では a a a 0.3 n m 0.3\,\mathrm{nm} 0.3 nm T B T_{\mathrm B} T B k k k a a a 1 1 J. Feldmann, K. Leo, J. Shah, D. A. B. Miller, J. E. Cunningham, T. Meier, G. von Plessen, A. Schulze, P. Thomas, S. Schmitt-Rink (1992), Phys. Rev. B 46 , 7252–7255.
例題 4.10.4 超格子と普通の結晶の Bloch 周期 ★★
オリジナル 電場の大きさを E = 1.0 × 10 5 V m − 1 E=1.0\times10^5\,\mathrm{V\,m^{-1}} E = 1.0 × 1 0 5 V m − 1
(1) 周期 a = 10 n m a=10\,\mathrm{nm} a = 10 nm 4 t h = 20 m e V 4t_{\mathrm h}=20\,\mathrm{meV} 4 t h = 20 meV T B T_{\mathrm B} T B 1 / T B 1/T_{\mathrm B} 1/ T B (2) 同じ電場で a = 0.30 n m a=0.30\,\mathrm{nm} a = 0.30 nm T B T_{\mathrm B} T B τ = 1 × 10 − 14 s \tau=1\times10^{-14}\,\mathrm s τ = 1 × 1 0 − 14 s T B / τ T_{\mathrm B}/\tau T B / τ
解答 (1) 式 (4.10.15) から
T B = h e E a = 6.626 × 10 − 34 1.602 × 10 − 19 × 1.0 × 10 5 × 10 × 10 − 9 = 4.14 × 10 − 12 s , 1 T B = 242 G H z . T_{\mathrm B}=\frac{h}{eEa}=\frac{6.626\times10^{-34}}{1.602\times10^{-19}\times1.0\times10^5\times10\times10^{-9}}=4.14\times10^{-12}\,\mathrm s,\qquad \frac1{T_{\mathrm B}}=242\,\mathrm{GHz}. T B = e E a h = 1.602 × 1 0 − 19 × 1.0 × 1 0 5 × 10 × 1 0 − 9 6.626 × 1 0 − 34 = 4.14 × 1 0 − 12 s , T B 1 = 242 GHz .
振れ幅は式 (4.10.16) から帯の幅を e E eE e E 20 × 10 − 3 e V / ( e × 1.0 × 10 5 V m − 1 ) = 2.0 × 10 − 7 m = 200 n m 20\times10^{-3}\,\mathrm{eV}/(e\times1.0\times10^5\,\mathrm{V\,m^{-1}})=2.0\times10^{-7}\,\mathrm m=200\,\mathrm{nm} 20 × 1 0 − 3 eV / ( e × 1.0 × 1 0 5 V m − 1 ) = 2.0 × 1 0 − 7 m = 200 nm 20 20 20
(2) T B = h / ( e E a ) = 1.38 × 10 − 10 s T_{\mathrm B}=h/(eEa)=1.38\times10^{-10}\,\mathrm s T B = h / ( e E a ) = 1.38 × 1 0 − 10 s T B / τ = 1.38 × 10 4 T_{\mathrm B}/\tau=1.38\times10^4 T B / τ = 1.38 × 1 0 4 k k k 10 4 10^4 1 0 4 T B T_{\mathrm B} T B a a a a a a k k k
1 J. Feldmann, K. Leo, J. Shah, D. A. B. Miller, J. E. Cunningham, T. Meier, G. von Plessen, A. Schulze, P. Thomas, S. Schmitt-Rink (1992), Phys. Rev. B 46 , 7252–7255.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
