有効質量近似は Bloch 波の均質化

2026年10月15日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第12章固体編：一電子（周期作用素とバンド）

基底状態変換で均質化の問題になる
包絡線の方程式：2スケール展開
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第12章 §12.4　★★★ バンドの底の放物線近似は第9章の均質化そのもの。1次元の最低バンドでは有効質量が調和平均で厳密に書ける

基底状態変換で均質化の問題になる

半導体の不純物準位や、ゆっくり変わる外場の中の電子を、有効質量 $m^*$ の自由粒子として扱う近似を考える。これが第9章の均質化と同じ構造であることは、1次元の最低バンドの底で最もはっきり見える。

$H=-\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2+V(x)$ （ $\hbar^2/(2m)=1$ 、周期 $1$ ）の最低バンドの下端 $\varepsilon _0$ に属する周期解 $u_0$ は、最低の固有関数なので符号を変えず、正にとれる。任意の関数を $\psi=u_0\varphi$ と書くと、 $-u_0''+Vu_0=\varepsilon _0u_0$ を使って

$(H-\varepsilon _0)(u_0\varphi)=-u_0''\varphi-2u_0'\varphi'-u_0\varphi''+(V-\varepsilon _0)u_0\varphi=-\frac{1}{u_0}\bigl(u_0^2\varphi'\bigr)'\tag{12.12}$

を得る（基底状態変換）。ポテンシャルが消え、代わりに係数 $\rho\coloneqq u_0^2$ の発散形の作用素 $L\varphi=-\rho^{-1}(\rho\varphi')'$ が現れた。 $L$ は重み $\rho\,\mathrm{d} x$ の $L^2$ で自己共役で、 $H-\varepsilon _0$ とユニタリ同値である。これは第9章の振動する係数の問題 $-(\rho(x)\varphi')'$ と同じ形をしている（近似の数理第9章）。

定理 12.5（最低バンドの底の有効質量 ★★★）

1次元で、単位胞の上の平均を $\langle f \rangle =\int_0^1f\,\mathrm{d} x$ と書く。最低バンドは $k=0$ の近くで

$\varepsilon _1(k)=\varepsilon _0+\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}+\mathcal{O}(k^4),\qquad \frac{m}{m^*}=\frac{1}{\langle u_0^2 \rangle \,\langle u_0^{-2} \rangle }\tag{12.13}$

を満たす。とくに Cauchy–Schwarz の不等式 $1=\langle u_0\cdot u_0^{-1} \rangle ^2\le\langle u_0^2 \rangle \langle u_0^{-2} \rangle$ から $m^*\ge m$ で、等号は $V$ が定数のときに限る。

証明の骨格

$H$ の $k$ のファイバーは、変換 (12.12) の後では $\varphi=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}w$ （ $w$ は周期的）に対する $L$ の固有値問題になる。最低固有値 $\lambda(k)$ を $k$ の2次まで求める。 $w=1+\mathrm{i} k\chi+\mathcal{O}(k^2)$ （ $\chi$ は周期的で平均 $0$ ）と置いて $k$ の1次を比べると、第9章のセル問題と同じ $\bigl(\rho(1+\chi')\bigr)'=0$ を得る。よって $\rho(1+\chi')=C$ （定数）で、 $\langle \chi' \rangle =0$ から $C=\langle \rho^{-1} \rangle ^{-1}$ である。固有値は Rayleigh 商 $\lambda(k)=\langle \rho\lvert (\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}w)'\rvert ^2 \rangle /\langle \rho\lvert w\rvert ^2 \rangle$ を $w$ について最小にしたものなので、2次まで

$\lambda(k)=k^2\frac{\langle \rho(1+\chi')^2 \rangle }{\langle \rho \rangle }+\mathcal{O}(k^3)=k^2\frac{C^2\langle \rho^{-1} \rangle }{\langle \rho \rangle }=\frac{k^2}{\langle \rho \rangle \langle \rho^{-1} \rangle }$

となる（ $k$ の奇数次は $V$ が実で $\lambda(-k)=\lambda(k)$ なので消える）。 $\hbar^2/(2m)=1$ の単位では自由粒子が $k^2$ なので (12.13) を得る。

分母の $\langle \rho^{-1} \rangle ^{-1}$ は第9章の1次元均質化の調和平均で、 $1/\langle \rho \rangle$ は重みの平均による規格化である。有効質量は「 $u_0^2$ を係数とする媒質の均質化係数」であり、算術平均と調和平均の違いがそのまま質量の増え方になる。 $d$ 次元でも同じで、最低バンドの底の逆有効質量テンソルは係数 $u_0^2\,I$ の均質化テンソルを $\langle u_0^2 \rangle$ で割ったものになる。均質化の係数が Bloch 固有値の $\bm{k}=0$ での Hesse 行列に等しいことはC. Conca and M. Vanninathan (1997), SIAM J. Appl. Math. 57, 1639 が示した。第9章の Voigt の上界（均質化係数は算術平均以下）を当てると $m(m^{*-1})\le I$ 、すなわち最低バンドの底はどの向きにも自由電子より重い。

包絡線の方程式：2スケール展開

$m^*$ が分かったとして、ゆっくり変わる外のポテンシャル $U(\eta x)$ （ $\eta=a/\ell\ll1$ 、 $\ell$ は外場が変わる長さ）がある問題 $H_\eta=H+U(\eta x)$ を考える。第9章と同じく、速い変数 $y=x$ （格子の尺度）と遅い変数 $X=\eta x$ を分け、

$\psi(x)=u_{n k_0}(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_0x}F(\eta x)+\eta\,\psi_1+\cdots$

と置く。 $k_0$ はバンド $n$ の非退化な極値（ここでは $k_0=0$ の底）である。 $\eta$ の0次・1次の釣り合いは $u_{nk_0}$ が単位胞の固有関数であることと、セル問題（上の $\chi$ ）を与え、2次の可解条件として包絡線 $F$ の方程式

$\Bigl[-\frac{\hbar^2}{2}\nabla_X\cdot\bigl(m^{*-1}\nabla_X\bigr)+U(X)\Bigr]F=\mu F,\qquad E=\varepsilon _n(k_0)+\eta^2\mu+o(\eta^2)\tag{12.14}$

を得る（長さを $X$ で測ったので運動エネルギーに $\eta^2$ が付く）。これが有効質量近似で、水素原子型の不純物準位の計算はこの式の $U$ に遮蔽された Coulomb ポテンシャルを入れたものである。時間に依存する形（ $t$ を $\eta^{-2}$ 倍の長い時間で測る）では、Bloch 関数に集中した初期値の解が「速く振動する Bloch 関数×ゆっくり変わる均質化された Schrödinger 方程式の解」で近似されることが証明されている（G. Allaire and A. Piatnitski (2005), Commun. Math. Phys. 258, 1）。前提はバンドの極値が単純（縮退していない）で、極値が非退化（Hesse 行列が正則）であることである。Si の価電子帯の上端のように縮退した端では、縮退したバンドを全部同時に残す多バンドの包絡線方程式が要る。

例題 12.4　弱い余弦ポテンシャルの有効質量を2通りで ★★★

オリジナル $H=-\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2+2v\cos(Gx)$ （ $\hbar^2/(2m)=1$ 、 $v$ は小さい）の最低バンドの底の有効質量を、 $v$ の2次まで求める。

1次の摂動で $u_0=1+c\cos(Gx)$ と置き、 $c$ を求めよ。定理 12.5 の公式から $m/m^*$ を $v$ の2次まで求めよ。
(12.10) の2次の摂動で、 $k$ の小さい所の $\varepsilon _1(k)$ を展開し、 $k^2$ の係数を求めて (1) と比べよ。
Mathieu の場合（ $v=q$ 、 $G=2$ ）に当てはめ、 $q=0.5$ の値を数値の $m/m^*=0.8872$ と比べよ。

解答

(1) $-u_0''=cG^2\cos Gx$ 、 $2v\cos Gx\cdot1=2v\cos Gx$ で、 $\cos Gx$ の係数の釣り合い $cG^2+2v=0$ から $c=-2v/G^2$ 。 $\langle u_0^2 \rangle =1+c^2/2$ 、 $\langle u_0^{-2} \rangle =\langle 1-2c\cos Gx+3c^2\cos^2Gx \rangle +\mathcal{O}(c^3)=1+3c^2/2$ なので積は $1+2c^2+\mathcal{O}(c^3)$ 、

$\frac{m}{m^*}=1-2c^2=1-\frac{8v^2}{G^4}+\mathcal{O}(v^3).$

(2) 状態 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}$ は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\pm G)x}$ と行列要素 $v$ で結合するので

$\begin{aligned} \varepsilon _1(k)&=k^2-v^2\Bigl[\frac{1}{(k+G)^2-k^2}+\frac{1}{(k-G)^2-k^2}\Bigr]=k^2-\frac{2v^2}{G^2}\cdot\frac{1}{1-4k^2/G^2}\\ &=-\frac{2v^2}{G^2}+k^2\Bigl(1-\frac{8v^2}{G^4}\Bigr)+\mathcal{O}(k^4). \end{aligned}$

$k^2$ の係数は (1) と一致する。(1) は基底状態の形（ $u_0$ の凹凸）から、(2) は上のバンドとの混ざり（ $k\cdot p$ 摂動）から同じ量を出しており、均質化の公式は $k\cdot p$ 摂動の和を1つの平均に畳んだものになっている。

(3) $8v^2/G^4=8q^2/16=q^2/2$ なので $m/m^*\approx1-q^2/2=0.875$ 。数値の $0.8872$ との差 $0.012$ は $q^4$ の程度の高次の項である（ $q^4=0.0625$ の約 $0.2$ 倍）。数値の値は、平面波基底で求めた $u_0$ から $\langle u_0^2 \rangle \langle u_0^{-2} \rangle$ を計算しても、 $\varepsilon _1(k)$ の曲率を数値微分しても、6桁まで同じになる（検算スクリプト）。

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの $\eta=a/\ell\to0$ （外のポテンシャルの変わる長さ $\ell$ が格子定数 $a$ より十分長い）　｜　証明条件付き（バンドの極値が単純で非退化。時間に依存する形は Allaire–Piatnitski 2005。Coulomb の特異点を持つ不純物ポテンシャルでの前提は要確認）　｜　行き先 近似の数理第9章

ほかの巻では

ハミルトニアンの選び方で固体を考える第4部第5章：有効質量の包絡線を不純物に当てたドナー準位（縮尺を変えた水素原子）と GaAs の値が読める

木下の勉強ステータス

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AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

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