1次元の均質化：平均は算術平均でなく調和平均

近似の数理　第9章 §9.1　★★★ 弱収束と強収束の区別が有効係数を決めることを、完全に計算できる場合で示す

この章は二つの部分からなる。前半は B 型（極限）の最後の例として均質化を扱う。細かい周期構造をもつ媒質の中の拡散・伝導・流れは、構造の周期 $\varepsilon$ を系の大きさに比べて小さくした極限で、一様な「有効媒質」の方程式に置き換わる。複合材料の有効熱伝導率や、多孔質媒体を流れる水の Darcy 則は、この極限として導くことができる。ここでは「どの量が強く収束し、どの量が弱くしか収束しないか」という区別が結論を決めることを、1次元の厳密な計算から多次元の証明まで追う。

後半は C 型（閉じる）を扱う。乱流の Reynolds 平均と渦粘性モデル、Rayleigh–Bénard 対流の3モード打ち切り（Lorenz 方程式）、密度汎関数理論（DFT）の交換相関汎関数である。どれも物理で日常的に使われるが、小さいパラメータがないため、前半のような極限定理の形の正当化ができない。何が厳密に言えて、どこから先がモデルなのかを、それぞれの場合に一つずつ切り分ける。

問題設定と素朴な答え

区間 $(0,1)$ 上で、周期 $\varepsilon$ で振動する係数をもつ境界値問題

$$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigl(a\bigl(\tfrac{x}{\varepsilon }\bigr)\,\frac{\mathrm{d} u_{\varepsilon }}{\mathrm{d} x}\Bigr) = f(x),\qquad u_{\varepsilon }(0)=u_{\varepsilon }(1)=0\tag{9.1}$$

を考える。$a(y)$ は周期 $1$ の関数で、正の定数 $\lambda,\Lambda$ について $0<\lambda\le a(y)\le\Lambda$ を満たすとする。物理的には、熱伝導率 $a$ が場所によって周期的に変わる棒の定常熱伝導（$u$ は温度、$f$ は熱源）、あるいは抵抗率が周期的に変わる導線の電位の問題である。周期 $\varepsilon$ が系の長さ $1$ に比べて非常に小さいとき、微細構造を一つ一つ解くのは無駄に思える。そこで問いは次のようになる。$\varepsilon \to0$ で $u_{\varepsilon }$ は何かの関数 $u_0$ に近づくか。近づくなら、$u_0$ はどんな方程式を満たすか。

素朴な答えは「係数を平均で置き換えればよい」、つまり $\langle a \rangle =\int_0^1 a(y)\,\mathrm{d} y$ を一様な係数として$-\langle a \rangle u_0''=f$ を解けばよい、というものである。この答えは誤りである。正しい有効係数は

$$a^* = \Bigl(\int_0^1 \frac{\mathrm{d} y}{a(y)}\Bigr)^{-1} = \langle 1/a \rangle ^{-1}\tag{9.2}$$

すなわち $a$ の調和平均である。算術平均と調和平均は、$a$ が定数でない限り $a^*<\langle a \rangle$ と厳密に異なる（Cauchy–Schwarz の不等式 $1=\langle \sqrt{a}\cdot 1/\sqrt{a} \rangle ^2\le\langle a \rangle \langle 1/a \rangle$ による）。

弱収束の復習と、振動する周期関数の弱極限

第2章で導入した弱収束を、この章で使う形で再掲する。

強収束すれば弱収束するが、逆は成り立たない。弱収束は「固定した窓関数 $\varphi$ で重みをつけて平均した値」が収束することだけを要求するので、窓の幅より細かい振動は平均で消え、極限には現れない。典型例が次の補題である。

証明

$\lvert g\rvert \le M$ とする。まず $\varphi$ が区間 $[\alpha,\beta]$ の指示関数の場合を示す。変数変換 $y=x/\varepsilon$ により$\int_\alpha^\beta g(x/\varepsilon )\,\mathrm{d} x=\varepsilon \int_{\alpha/\varepsilon }^{\beta/\varepsilon }g(y)\,\mathrm{d} y$ である。区間 $[\alpha/\varepsilon ,\beta/\varepsilon ]$ は長さ $1$ の完全な周期を $n=\lfloor(\beta-\alpha)/\varepsilon \rfloor$ 個含み、残りの長さは $2$ 未満なので、$\bigl|\varepsilon \int_{\alpha/\varepsilon }^{\beta/\varepsilon }g\,\mathrm{d} y-\varepsilon n\langle g \rangle \bigr|\le 2M\varepsilon$。$\varepsilon n\to\beta-\alpha$ だから $\int_\alpha^\beta g_{\varepsilon }\to(\beta-\alpha)\langle g \rangle$ となる。線型性から、$\varphi$ が階段関数（有限個の区間の指示関数の線型結合）でも同じ結論が成り立つ。

一般の $\varphi\in L^2$ に対しては、任意の $\delta>0$ について $\lVert \varphi-\psi\rVert <\delta$ となる階段関数 $\psi$ がとれる。Cauchy–Schwarz により$\bigl|\int(g_{\varepsilon }-\langle g \rangle )(\varphi-\psi)\bigr|\le 2M\lvert \Omega\rvert ^{1/2}\delta$ で、$\varepsilon$ によらない。したがって $\limsup\bigl|\int(g_{\varepsilon }-\langle g \rangle )\varphi\bigr|\le 2M\lvert \Omega\rvert ^{1/2}\delta$ で、$\delta$ は任意だから極限は $0$ である。

強収束しないことは、$\lVert g_{\varepsilon }-\langle g \rangle \rVert ^2=\int\lvert g(x/\varepsilon )-\langle g \rangle \rvert ^2\mathrm{d} x$ に同じ議論を周期関数$\lvert g-\langle g \rangle \rvert ^2$ に対して使うと、これが $\lvert \Omega\rvert \,\langle \lvert g-\langle g \rangle \rvert ^2 \rangle >0$ に収束することからわかる。

この補題が、この章の前半全体の基礎である。振動する係数 $a(x/\varepsilon )$ はそれ自身 $\langle a \rangle$ に弱収束し、$1/a(x/\varepsilon )$ は $\langle 1/a \rangle$ に弱収束する。ところが $1/\langle a \rangle \ne\langle 1/a \rangle$ である。「弱収束する列の関数（ここでは逆数）の弱極限は、弱極限の関数ではない」。第2章で強調した「弱収束する二つの量の積の弱極限は弱極限の積でない」はこの一例であり、均質化の問題はまさにこの現象の上に立っている。

1次元の均質化定理

証明

$F(x)=\int_0^xf(s)\,\mathrm{d} s$、$b(y)=1/a(y)$、$b_{\varepsilon }(x)=b(x/\varepsilon )$ とおく。

(i) 流束を書き下す。方程式は $\sigma_{\varepsilon }'=-f$ と書けるので、ある定数 $c_{\varepsilon }$ を使って $\sigma_{\varepsilon }(x)=c_{\varepsilon }-F(x)$ である。したがって $u_{\varepsilon }'=b_{\varepsilon }\,\sigma_{\varepsilon }=b_{\varepsilon }(c_{\varepsilon }-F)$。境界条件 $u_{\varepsilon }(0)=0$ から $u_{\varepsilon }(x)=\int_0^xb_{\varepsilon }(c_{\varepsilon }-F)\,\mathrm{d} s$、もう一方の境界条件 $u_{\varepsilon }(1)=0$ から定数が決まる。

$$c_{\varepsilon }=\frac{\int_0^1 b_{\varepsilon } F\,\mathrm{d} x}{\int_0^1 b_{\varepsilon }\,\mathrm{d} x}.$$

(ii) 定数の極限。補題 9.2 を $g=b$、試験関数 $\varphi=F$ と $\varphi=1$ に使うと、分子は $\langle b \rangle \int_0^1F$、分母は $\langle b \rangle$ に収束する。よって $c_{\varepsilon }\to c_0:=\int_0^1F\,\mathrm{d} x$。このとき $\sigma_{\varepsilon }-\sigma_0=c_{\varepsilon }-c_0$ は $x$ によらない定数なので、$\sigma_{\varepsilon }\to\sigma_0:=c_0-F$ は一様収束である。これが (2) の流束の強収束である（$\sigma_0=a^*u_0'$ であることは (iv) で示す）。

(iii) 勾配の弱極限。$u_{\varepsilon }'=\sigma_0b_{\varepsilon }+(c_{\varepsilon }-c_0)b_{\varepsilon }$ と分ける。第2項は $\lvert c_{\varepsilon }-c_0\rvert /\lambda$ で一様に抑えられて $0$ に行く。第1項は、任意の $\varphi\in L^2$ に対し $\int\sigma_0b_{\varepsilon }\varphi\to\langle b \rangle \int\sigma_0\varphi$（補題で試験関数を $\sigma_0\varphi$ にとる）。よって $u_{\varepsilon }'\rightharpoonup \langle b \rangle \sigma_0$。

(iv) 関数そのものの極限。$u_{\varepsilon }(x)=\int_0^1\mathbf 1_{[0,x]}u_{\varepsilon }'\,\mathrm{d} s$ に (iii) を使うと、各 $x$ で$u_{\varepsilon }(x)\to\int_0^x\langle b \rangle \sigma_0\,\mathrm{d} s=:u_0(x)$。$\lvert u_{\varepsilon }'\rvert$ は $\varepsilon$ によらない定数で抑えられるので$\{u_{\varepsilon }\}$ は同程度連続であり、各点収束は一様収束に格上げされる。極限 $u_0$ は $u_0'=\langle b \rangle \sigma_0$、つまり $a^*u_0'=\sigma_0=c_0-F$ を満たすので、$-(a^*u_0')'=F'=f$。境界値は $u_0(0)=0$ と$u_0(1)=\langle b \rangle \int_0^1(c_0-F)=\langle b \rangle (c_0-c_0)=0$。したがって $u_0$ は (9.3) の解である。

(v) 勾配は強収束しない。$u_{\varepsilon }'-u_0'=\sigma_0(b_{\varepsilon }-\langle b \rangle )+(c_{\varepsilon }-c_0)b_{\varepsilon }$。第2項は一様に $0$ に行く。$\sigma_0$ が連続なら、第1項の 2 乗積分は補題を周期関数 $(b-\langle b \rangle )^2$ に使って

$$\lVert u_{\varepsilon }'-u_0'\rVert ^2\ \longrightarrow\ \langle (b-\langle b \rangle )^2 \rangle \int_0^1\sigma_0^2\,\mathrm{d} x\tag{9.5}$$

となり、$b$ が定数でなく $\sigma_0\not\equiv0$ なら正である。

証明の構造を振り返る。強収束したのは流束 $\sigma_{\varepsilon }=a_{\varepsilon } u_{\varepsilon }'$ であり、これは $\sigma_{\varepsilon }'=-f$ という方程式そのものが微分を押さえている量だから振動できない。弱くしか収束しないのは勾配 $u_{\varepsilon }'$ と係数 $a_{\varepsilon }$ で、どちらも微細構造に合わせて振動する。有効係数は「流束の極限を勾配の弱極限で割ったもの」として定義されるべき量であり、

$$a^* = \frac{\lim\sigma_{\varepsilon }}{\mathrm{w\text{-}lim}\,u_{\varepsilon }'} = \frac{\sigma_0}{\langle 1/a \rangle \sigma_0}=\langle 1/a \rangle ^{-1}$$

となる（$\mathrm{w\text{-}lim}$ は弱極限）。素朴な答え $\langle a \rangle$ は、$\sigma_{\varepsilon }=a_{\varepsilon }\cdot u_{\varepsilon }'$ の両因子の弱極限をそれぞれとって掛けた「$\langle a \rangle \cdot u_0'$」を流束の極限と取り違えたものであり、まさに弱極限の積と積の弱極限の取り違えである。

数値で見る：2相媒質

具体例として、$a(y)=1$（$0\le y<1/2$）、$a(y)=4$（$1/2\le y<1$）、$f\equiv1$ をとる。$\langle a \rangle =2.5$、$\langle 1/a \rangle =(1+1/4)/2=0.625$ だから $a^*=1.6$ である。均質化解は $u_0(x)=x(1-x)/(2a^*)$ で、中央の値は $u_0(1/2)=1/(8a^*)=0.078125$。算術平均を使った誤答では中央の値が $1/(8\cdot2.5)=0.05$ となり、真の解より 36 % も小さい。

$u_{\varepsilon }$ は区間ごとに 2 次式なので厳密に計算できる。図 9.1 に $\varepsilon =0.1$ の厳密解と $u_0$、誤答を、表 9.1 に誤差の $\varepsilon$ 依存を示す（検算スクリプト）。$L^2$ 誤差は $\varepsilon$ を半分にするとちょうど半分になり $\mathcal{O}(\varepsilon )$ である。勾配の誤差は $\varepsilon$ によらず(9.5) の値 $\sqrt{\langle (b-\langle b \rangle )^2 \rangle }\,\lVert \sigma_0\rVert =0.375/\sqrt{12}\approx0.1083$ に張り付いて減らない（$\sigma_0=1/2-x$、$\lVert \sigma_0\rVert ^2=1/12$）。

修正子：勾配まで近似するには

勾配の誤差が減らないのは、$u_0$ が微細構造の振動を一切もたないからである。振動を足し戻せば勾配も近似できる。周期 $1$ の関数 $\chi(y)$ を

$$\chi'(y)=\frac{a^*}{a(y)}-1\tag{9.7}$$

で定める（右辺の平均は $a^*\langle 1/a \rangle -1=0$ なので、$\chi$ は周期関数になる）。

$$u_{\varepsilon }(x)\approx u_0(x)+\varepsilon \,u_1\bigl(x,\tfrac{x}{\varepsilon }\bigr),\qquad u_1(x,y)=\chi(y)\,u_0'(x)\tag{9.8}$$

とおくと、その勾配は $u_0'+\chi'(x/\varepsilon )u_0'+\varepsilon \chi u_0''=\frac{a^*u_0'}{a(x/\varepsilon )}+\mathcal{O}(\varepsilon )=\frac{\sigma_0}{a(x/\varepsilon )}+\mathcal{O}(\varepsilon )$ となり、厳密な勾配 $\sigma_{\varepsilon }/a(x/\varepsilon )$ と $\mathcal{O}(\varepsilon )$ の差しかない。表 9.1 の最右列が確かに $\mathcal{O}(\varepsilon )$ で減っている。修正子 $\varepsilon u_1$ は関数値では $\mathcal{O}(\varepsilon )$ の小さな補正だが、微分すると $\varepsilon$ が消えて $\mathcal{O}(1)$ の寄与になる。これが「$L^2$ では無視できるが $H^1$（勾配まで込めたノルム）では無視できない」項の正体である。