厳密な正当化：振動試験関数の方法

第1段（一様な評価）。方程式に $u_{\varepsilon }$ を掛けて部分積分すると $\int\nabla u_{\varepsilon }\cdot A_{\varepsilon }\nabla u_{\varepsilon }=\int fu_{\varepsilon }$。楕円性と Poincaré 不等式 $\lVert u\rVert \le C_P\lVert \nabla u\rVert$ から$\lambda\lVert \nabla u_{\varepsilon }\rVert ^2\le\lVert f\rVert \,C_P\lVert \nabla u_{\varepsilon }\rVert$、すなわち $\lVert \nabla u_{\varepsilon }\rVert \le C_P\lVert f\rVert /\lambda$。流束 $\sigma_{\varepsilon }:=A_{\varepsilon }\nabla u_{\varepsilon }$ も $\lVert \sigma_{\varepsilon }\rVert \le\Lambda C_P\lVert f\rVert /\lambda$ と有界である。

第2段（部分列の極限）。(F1)(F2) により部分列をとって、$u_{\varepsilon }\to u_0$（強）、$\nabla u_{\varepsilon }\rightharpoonup \nabla u_0$、$\sigma_{\varepsilon }\rightharpoonup \sigma_0$ とできる。弱形式 $\int\sigma_{\varepsilon }\cdot\nabla\varphi=\int f\varphi$ は $\sigma_{\varepsilon }$ について線型なので極限に移せて、$-\nabla\cdot\sigma_0=f$。残る問題は $\sigma_0=A^*\nabla u_0$ を示すことである。$\sigma_{\varepsilon }=A_{\varepsilon }\nabla u_{\varepsilon }$ は弱収束する $A_{\varepsilon }$ と弱収束する $\nabla u_{\varepsilon }$ の積なので、(F4) は使えない。

第3段（振動試験関数）。定ベクトル $\eta$ に対し、セル問題の解を使って

$$w_{\varepsilon }(x)=\eta\cdot x+\varepsilon \,\chi_\eta(x/\varepsilon ),\qquad \chi_\eta=\sum_j\eta_j\chi_j$$

とおく。この関数は次の性質をもつ。$w_{\varepsilon }\to\eta\cdot x$（一様収束、修正項は $\mathcal{O}(\varepsilon )$）。$\nabla w_{\varepsilon }=(\eta+\nabla_y\chi_\eta)(x/\varepsilon )\rightharpoonup \eta$（(F3)、勾配の平均は $\eta$）。$\tau_{\varepsilon }:=A_{\varepsilon }\nabla w_{\varepsilon }=\bigl[A(\eta+\nabla_y\chi_\eta)\bigr](x/\varepsilon )\rightharpoonup A^*\eta$（(F3) と (9.15)）。そしてセル問題を $x$ の変数で書き直すと $\nabla\cdot\tau_{\varepsilon }=0$。$w_{\varepsilon }$ は「同じ微細構造の中で、巨視的に一様な勾配 $\eta$ をかけたときの微視的な場」である。

第4段（同じ量を二通りに計算する）。$\phi$ を $\Omega$ の内部に台をもつ滑らかな関数として $I_{\varepsilon }=\int\phi\,\sigma_{\varepsilon }\cdot\nabla w_{\varepsilon }$ を考える。

(a) $\nabla w_{\varepsilon }$ を部分積分で $w_{\varepsilon }$ に移す。$\nabla\cdot(\phi\sigma_{\varepsilon })=\nabla\phi\cdot\sigma_{\varepsilon }-\phi f$ だから

$$I_{\varepsilon }=-\int w_{\varepsilon }\,\sigma_{\varepsilon }\cdot\nabla\phi+\int w_{\varepsilon }\phi f .$$

$w_{\varepsilon }$ は強収束、$\sigma_{\varepsilon }$ は弱収束なので (F4) が使えて、$I_{\varepsilon }\to-\int(\eta\cdot x)\sigma_0\cdot\nabla\phi+\int(\eta\cdot x)\phi f$。$-\nabla\cdot\sigma_0=f$ を使って部分積分を戻すと、この極限は $\int\phi\,\sigma_0\cdot\eta$ に等しい。

(b) $A$ の対称性から $\sigma_{\varepsilon }\cdot\nabla w_{\varepsilon }=\nabla u_{\varepsilon }\cdot\tau_{\varepsilon }$。今度は $\nabla u_{\varepsilon }$ を部分積分で $u_{\varepsilon }$ に移す。$\nabla\cdot\tau_{\varepsilon }=0$ だから

$$I_{\varepsilon }=-\int u_{\varepsilon }\,\tau_{\varepsilon }\cdot\nabla\phi .$$

$u_{\varepsilon }$ は強収束、$\tau_{\varepsilon }$ は弱収束なので (F4) により $I_{\varepsilon }\to-\int u_0\,A^*\eta\cdot\nabla\phi=\int\phi\,\nabla u_0\cdot A^*\eta$。

(a)(b) を等しいとおくと、すべての $\phi$ と $\eta$ について $\int\phi\,\sigma_0\cdot\eta=\int\phi\,(A^*\nabla u_0)\cdot\eta$（$A^*$ の対称性を使った）。よって $\sigma_0=A^*\nabla u_0$ で、$u_0$ は均質化方程式を満たす。

第5段（列全体の収束）。均質化方程式の解は一意なので、どの部分列の極限も同じ $u_0$ である。したがって列全体が収束する。

修正子の評価 $\mathcal{O}(\sqrt\varepsilon )$ は、$r_{\varepsilon }=u_{\varepsilon }-u_0-\varepsilon u_1-\varepsilon ^2u_2$ が満たす方程式の残差を評価し、境界での不一致を幅 $\varepsilon$ の切断関数で補正することで得られる。$\sqrt\varepsilon$ は境界層の幅 $\varepsilon$ の平方根（勾配の 2 乗積分が層の幅に比例する）から来る。この部分は計算が長いので省略する。