多次元：2スケール展開とセル問題

近似の数理　第9章 §9.2　★★★ 有効係数を決める補助問題（セル問題）と、それが算術平均と調和平均の間にあることの証明

設定

$d$ 次元の有界領域 $\Omega$ で

$$-\nabla\cdot\bigl(A(x/\varepsilon )\nabla u_{\varepsilon }\bigr)=f\quad(\Omega\text{ 内}),\qquad u_{\varepsilon }=0\quad(\partial\Omega\text{ 上})\tag{9.9}$$

を考える。$A(y)$ は単位立方体 $Y=[0,1)^d$ を周期とする対称行列値関数で、一様楕円性

$$\lambda\lvert \xi\rvert ^2\le\xi\cdot A(y)\xi\le\Lambda\lvert \xi\rvert ^2\qquad(\xi\in\mathbb{R}^d)$$

を満たすとする。$\langle g \rangle =\int_Yg(y)\,\mathrm{d} y$ を周期セル上の平均とする。1次元のように積分で解を書き下すことはもうできない。流束 $A_{\varepsilon }\nabla u_{\varepsilon }$ は発散が $-f$ に押さえられるだけで、発散のない成分（回転成分）は自由に振動できるからである。

2スケール漸近展開

解が「ゆっくり変わる変数 $x$」と「微細構造の変数 $y=x/\varepsilon$」の両方に依存すると仮定して

$$u_{\varepsilon }(x)=u_0(x,y)+\varepsilon \,u_1(x,y)+\varepsilon ^2u_2(x,y)+\cdots,\qquad y=x/\varepsilon\tag{9.11}$$

と展開する。各 $u_k(x,y)$ は $y$ について $Y$ 周期とする。$y=x/\varepsilon$ を代入した関数を $x$ で微分すると連鎖律により$\nabla\bigl[v(x,x/\varepsilon )\bigr]=\bigl(\nabla_xv+\varepsilon ^{-1}\nabla_yv\bigr)(x,x/\varepsilon )$ となるので、方程式の作用素は

$$-\nabla\cdot(A\nabla)=\varepsilon ^{-2}L_0+\varepsilon ^{-1}L_1+L_2,$$

$$L_0=-\nabla_y\cdot(A\nabla_y),\qquad L_1=-\nabla_y\cdot(A\nabla_x)-\nabla_x\cdot(A\nabla_y),\qquad L_2=-\nabla_x\cdot(A\nabla_x)$$

と $\varepsilon$ の冪で分かれる。(9.11) を代入して $\varepsilon$ の各冪の係数を比べる。その前に、周期関数に対する$L_0$ の性質を一つ用意する。

証明の骨格

必要性は、$L_0w$ が周期関数の発散なので、セル上で積分すると発散定理により境界の寄与が周期性で打ち消し合い $\langle L_0w \rangle =0$ となることからわかる。一意性は、$L_0w=0$ に $w$ を掛けてセル上で積分し部分積分すると $\langle \nabla_yw\cdot A\nabla_yw \rangle =0$、楕円性から $\nabla_yw=0$。十分性（存在）は、平均 $0$ の周期関数の空間でエネルギー $\frac12\langle \nabla w\cdot A\nabla w \rangle -\langle gw \rangle$ を最小化する変分問題として解ける。この最小化が解をもつことは、平均 $0$ の周期関数に対する Poincaré 不等式 $\lVert w\rVert \le C\lVert \nabla w\rVert$ と Lax–Milgram の定理（楕円型の変分問題の解の存在と一意性を保証する定理）による。有限次元の言葉で言えば、$L_0$ は対称で核が定数だけなので、像は核の直交補空間（平均 $0$ の関数）全体である。

$\varepsilon ^{-2}$ の項。 $L_0u_0=0$。補題 9.4 より $u_0$ は $y$ によらない。$u_0=u_0(x)$。

$\varepsilon ^{-1}$ の項。 $L_0u_1+L_1u_0=0$、すなわち $-\nabla_y\cdot\bigl(A(y)(\nabla_xu_0+\nabla_yu_1)\bigr)=0$。$u_0$ は $y$ によらないので $\nabla_xu_0(x)$ は $y$ についての定数ベクトルとして振る舞う。方程式は線型なので

$$u_1(x,y)=\sum_{j=1}^d\chi_j(y)\,\frac{\partial u_0}{\partial x_j}(x)\quad(+\ x\text{ だけの関数})$$

と書け、$\chi_j$ は次のセル問題の解である。

$\varepsilon ^0$ の項。 $L_0u_2+L_1u_1+L_2u_0=f$。これを $u_2$ についての方程式と見ると、補題 9.4 の可解条件$\langle f-L_1u_1-L_2u_0 \rangle =0$ が必要である。$L_1u_1$ の第1項 $-\nabla_y\cdot(\cdots)$ はセル平均で消えるので、

$$f=\bigl\langle -\nabla_x\cdot\bigl(A\nabla_yu_1\bigr)-\nabla_x\cdot\bigl(A\nabla_xu_0\bigr)\bigr\rangle =-\nabla_x\cdot\Bigl(\sum_j\bigl\langle A(e_j+\nabla_y\chi_j)\bigr\rangle\frac{\partial u_0}{\partial x_j}\Bigr).$$

すなわち $u_0$ は均質化方程式

$$-\nabla\cdot\bigl(A^*\nabla u_0\bigr)=f\quad(\Omega\text{ 内}),\qquad u_0=0\quad(\partial\Omega\text{ 上})\tag{9.17}$$

を満たす。

有効係数の変分特徴付けと Voigt–Reuss の上下界

証明

セル問題 (9.14) に周期関数 $\chi_i$ を掛けてセル上で積分し、部分積分（周期性で境界項は消える）すると$\langle \nabla\chi_i\cdot A(e_j+\nabla\chi_j) \rangle =0$。これを (9.15) に足すと

$$A^*_{ij}=\bigl\langle(e_i+\nabla\chi_i)\cdot A(e_j+\nabla\chi_j)\bigr\rangle$$

となり、$A$ の対称性から $A^*$ は対称である。$\xi$ について線型結合すると $\xi\cdot A^*\xi=\langle g\cdot Ag \rangle$、$g=\xi+\nabla\chi_\xi$。任意の周期関数 $\varphi$ を $\varphi=\chi_\xi+\psi$ と書くと

$$\bigl\langle(\xi+\nabla\varphi)\cdot A(\xi+\nabla\varphi)\bigr\rangle =\langle g\cdot Ag \rangle +2\langle \nabla\psi\cdot Ag \rangle +\langle \nabla\psi\cdot A\nabla\psi \rangle .$$

中央の項はセル問題に $\psi$ を掛けて積分したものなので $0$、最後の項は $\ge0$。よって最小値は $\psi=0$ でとられ $\langle g\cdot Ag \rangle$ に等しい。

右辺はセルの中の「静電エネルギー」であり、セル問題は巨視的な勾配 $\xi$ を与えたときにエネルギーを最小にする微視的な場の配置を探す問題である。この特徴付けから、有効係数の上下界が直ちに出る。

証明

上界（Voigt）。 (9.18) で試行関数 $\varphi=0$ をとると $\xi\cdot A^*\xi\le\xi\cdot\langle A \rangle \xi$。

下界（Reuss）。 $A$ が正定値なので、任意のベクトル $g,\eta$ について各点で$(g-A^{-1}\eta)\cdot A(g-A^{-1}\eta)\ge0$、展開すると

$$g\cdot Ag\ \ge\ 2\eta\cdot g-\eta\cdot A^{-1}\eta .$$

$g=\xi+\nabla\chi_\xi$、$\eta$ を定ベクトルとしてセル平均をとる。周期関数の勾配の平均は $0$ なので $\langle g \rangle =\xi$ であり、

$$\xi\cdot A^*\xi=\langle g\cdot Ag \rangle \ \ge\ 2\eta\cdot\xi-\eta\cdot\langle A^{-1} \rangle \eta .$$

右辺は $\eta$ の 2 次式で、$\eta=\langle A^{-1} \rangle ^{-1}\xi$ で最大値 $\xi\cdot\langle A^{-1} \rangle ^{-1}\xi$ をとる（検算スクリプト）。よって $\xi\cdot A^*\xi\ge\xi\cdot\langle A^{-1} \rangle ^{-1}\xi$。

Voigt の上界は「微視的な勾配が一様である」と仮定した値（試行関数 $0$）、Reuss の下界は「微視的な流束が一様である」と仮定した値である。真の微視的な場は、勾配と流束のどちらも一様にはならない妥協点にあり、その結果は両者の間に落ちる。1次元では流束が必ず一様になる（$\sigma_{\varepsilon }'=-f$ が振動を許さない）ので、下界がそのまま実現した。