物理の例：有効係数と Darcy 則

近似の数理　第9章 §9.4　★★ 巨視的な構成則が微視的方程式の極限として出る具体例

複合材料の有効熱伝導率・有効誘電率

熱伝導 $\nabla\cdot(\kappa\nabla T)=-q$、静電場 $\nabla\cdot(\varepsilon _r\nabla\phi)=-\rho/\varepsilon _0$、定常電流 $\nabla\cdot(\sigma\nabla\phi)=0$ はすべて (9.9) と同じ形をしている。したがって前節までの結果は、複合材料の有効熱伝導率・有効誘電率・有効電気伝導率にそのまま当てはまる。Fourier 則 $\bm{q}=-\kappa^*\nabla T$ や Ohm の法則 $\bm{j}=\sigma^*\bm{E}$ の巨視的な係数は、微視的な構成則の係数の平均ではなく、セル問題の解を通して決まる量であり、一般には体積分率だけで決まらず、Voigt–Reuss の範囲に入ることだけが保証される。

体積分率に加えて「巨視的に等方的」という情報があると範囲はもっと狭まり、それを与えるのが Hashin–Shtrikman の上下界である。3次元で、誘電率 $\varepsilon _m$ の母相の中に誘電率 $\varepsilon _i$ の球状粒子が体積分率 $\phi$ で分散している希薄な系には、Maxwell–Garnett の式

$$\frac{\varepsilon ^*-\varepsilon _m}{\varepsilon ^*+2\varepsilon _m}=\phi\,\frac{\varepsilon _i-\varepsilon _m}{\varepsilon _i+2\varepsilon _m}\tag{9.20}$$

がよく使われる。この式は $\phi$ の 1 次までは孤立した球の分極（Clausius–Mossotti の局所場の議論）から正しく、$\phi$ の高次は近似である。また (9.20) は、$\varepsilon _i>\varepsilon _m$ のとき Hashin–Shtrikman の下界と一致することが知られている。$\varepsilon _m=1$、$\varepsilon _i=4$、$\phi=0.2$ なら $\varepsilon ^*=4/3\approx1.333$ で、Reuss の $1.176$ と Voigt の $1.6$ の間にある（検算スクリプト）。

多孔質媒体の Darcy 則

多孔質媒体（砂、岩石、フィルタ）の中の遅い流れでは、巨視的な流速 $\bar{\bm{u}}$ が圧力勾配に比例するという Darcy 則

$$\bar{\bm{u}}=-\frac{K}{\mu}\bigl(\nabla p-\bm{f}\bigr),\qquad\nabla\cdot\bar{\bm{u}}=0\tag{9.21}$$

が経験則として知られている（$\mu$ は粘性率、$K$ は透過率テンソル、$\bm{f}$ は体積力）。これは Stokes 方程式の均質化極限として導ける。周期 $\varepsilon$ で固体の障害物が並び、流体の領域を $\Omega_{\varepsilon }$ とする。細孔の大きさが $\varepsilon$ なので、圧力勾配 $\mathcal{O}(1)$ に対する流速は $\mathcal{O}(\varepsilon ^2)$ になる。この大きさを取り出すために粘性項に $\varepsilon ^2$ をつけた Stokes 方程式

$$-\varepsilon ^2\mu\Delta\bm{u}_{\varepsilon }+\nabla p_{\varepsilon }=\bm{f},\qquad\nabla\cdot\bm{u}_{\varepsilon }=0\quad(\Omega_{\varepsilon }\text{ 内}),\qquad\bm{u}_{\varepsilon }=0\quad(\text{固体の表面})$$

を考える。2スケール展開 $\bm{u}_{\varepsilon }=\bm{u}_0(x,y)+\varepsilon \bm{u}_1+\cdots$、$p_{\varepsilon }=p_0(x)+\varepsilon p_1(x,y)+\cdots$ を入れると、最低次で

$$-\mu\Delta_y\bm{u}_0+\nabla_yp_1=\bm{f}-\nabla_xp_0,\qquad\nabla_y\cdot\bm{u}_0=0\quad(\text{セルの流体部分 }Y_f),\qquad\bm{u}_0=0\quad(\text{固体の表面})$$

が出る。右辺は $y$ によらないので、線型性から $\bm{u}_0=\mu^{-1}\sum_j\bm{w}^j(y)(f-\nabla_xp_0)_j$ と書け、$\bm{w}^j$ はStokes のセル問題

$$-\Delta_y\bm{w}^j+\nabla_y\pi^j=e_j,\qquad\nabla_y\cdot\bm{w}^j=0\quad(Y_f\text{ 内}),\qquad\bm{w}^j=0\quad(\text{固体の表面}),\qquad\text{周期}\tag{9.23}$$

の解である。セル平均をとると $\bar{\bm{u}}=\langle \bm{u}_0 \rangle =\mu^{-1}K(\bm{f}-\nabla p_0)$、透過率は

$$K_{ij}=\langle w^j_i \rangle \qquad(\text{固体部分では }\bm{w}=0\text{ として }Y\text{ 全体で平均})$$

となる。次の次数の可解条件から $\nabla_x\cdot\bar{\bm{u}}=0$ が出て、Darcy 則 (9.21) が得られる。

$K$ が対称正定値であることもセル問題から示せる。(9.23) に $\bm{w}^i$ を掛けて $Y_f$ で積分し部分積分すると、圧力の項は $\nabla\cdot\bm{w}^i=0$ と周期性・すべりなし条件で消え、

$$\int_{Y_f}\nabla\bm{w}^i:\nabla\bm{w}^j\,\mathrm{d} y=\int_{Y_f}w^i_j\,\mathrm{d} y=K_{ji}$$

（$\lvert Y\rvert =1$）。左辺は $i,j$ について対称で、$\xi\cdot K\xi=\int\lvert \nabla\bm{w}_\xi\rvert ^2\ge0$ である。等号が成り立たない（$K$ が正定値になる）のは、流体の領域 $Y_f$ がどの方向にも周期的につながっていて、$\xi$ の向きに流れが通れるときである。平行平板のように一方向に閉じた孔では、その向きの成分が 0 になり $K$ は半正定値にとどまる（例題で確かめる）。Darcy 則の透過率は、セルの中の粘性散逸を表す正定値の量として微視的方程式から決まる。この極限の厳密な正当化は Tartar が与え、その後 Allaire らが拡張した。