この章のまとめ

(1) 二つの式を足すと右辺は打ち消し合い、$\partial_t(f_++f_-)+c\,\partial_x(f_+-f_-)=0$、すなわち $\partial_t\rho+\partial_xj=0$。$\phi(\pm)$ を向きの関数として $\phi(+)\frac{f_--f_+}{2\tau}+\phi(-)\frac{f_+-f_-}{2\tau}=\frac{(\phi(+)-\phi(-))(f_--f_+)}{2\tau}$ がすべての $f_\pm$ で $0$ になるのは $\phi(+)=\phi(-)$、すなわち定数のときに限る。衝突不変量は粒子数だけで、運動量 $c(\pm1)$ は保存しない（向きの反転は運動量を変える）。

次に、第 1 式に $f_+$、第 2 式に $f_-$ を掛けて足し、$x$ で積分すると、輸送の項は $\frac c2\partial_x(f_+^2-f_-^2)$ の積分で周期境界により $0$ になり、

$$\frac12\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int(f_+^2+f_-^2)\,\mathrm{d} x=\frac{1}{2\tau}\int\bigl(f_+(f_--f_+)+f_-(f_+-f_-)\bigr)\mathrm{d} x=-\frac{1}{2\tau}\int(f_+-f_-)^2\,\mathrm{d} x\le0.$$

等号は $f_+=f_-$、すなわち $j=0$ のときに限る。衝突の零点は「右向きと左向きが同数」の分布で、Maxwell 分布の役をする。$\int(f_+^2+f_-^2)$ は $H$ の 2 次近似に当たる量である（数値で単調減少と質量保存を確かめた。検算スクリプト）。

(2) 第 1 式から第 2 式を引いて $c$ を掛けると $\partial_tj+c^2\partial_x\rho=\frac{c}{2\tau}\cdot2(f_--f_+)=-j/\tau$。速度が $\pm c$ の 2 値しかないので $v^2=c^2$ が定数であり、流束の流束 $\int v^2f$ が $c^2\rho$ と既知の量で書ける。そのためモーメントの連鎖が 2 段で閉じる。連続な速度を持つ気体では $\int v^2f$ が新しい未知量（応力）になり、その流束にはさらに高次のモーメントが現れて、第6章の BBGKY 階層と同じく連鎖が終わらない。ここでは閉じる代わりに、$j$ が保存量でないことが新しい要素になる。

(3) $j$ の方程式を $j=-\tau(\partial_tj+c^2\partial_x\rho)$ と書く。長さ $L$ の変化を見ると $\partial_x\sim1/L$ で、$\rho$ は拡散の時間 $L^2/(c^2\tau)$ で変化する。小さいパラメータ $\mathrm{Kn}=c\tau/L$ について、最低次では $j=0$（局所平衡）、1 次では右辺の $\partial_tj$ は $j$ 自体が $\mathcal{O}(\mathrm{Kn})$ でさらに時間微分が遅いので 1 段高次になり、

$$j\approx-c^2\tau\,\partial_x\rho .$$

これを保存則に入れると $\partial_t\rho=c^2\tau\,\partial_x^2\rho$、すなわち $D=c^2\tau$。粘性率 $\mu=p\tau$ が緩和時間と速さの 2 乗の積で決まったのと同じ構造で、構成則（Fick の法則）が $\mathrm{Kn}$ の 1 次として出る。衝突不変量が粒子数だけなので、流体の場は $\rho$ 1 個であり、Euler 方程式に当たる 0 次の方程式は $\partial_t\rho=0$（流束 $0$）となる。拡散が見えるのは時間を $\mathrm{Kn}^{-1}$ 倍に引き延ばしたとき、すなわち本章の拡散スケーリングと同じ時間尺度である。

(4) $s\rho=-\mathrm{i} kj$、$(s+1/\tau)j=-\mathrm{i} kc^2\rho$ を掛け合わせて $s(s+1/\tau)=-c^2k^2$、両辺に $\tau$ を掛けて $\tau s^2+s+c^2\tau k^2=0$。解は

$$s\tau=\frac{-1\pm\sqrt{1-4a}}{2},\qquad a=(ck\tau)^2 .$$

遅い枝（$+$ の符号）を展開すると

$$s\tau=-(a+a^2+2a^3+5a^4+14a^5+\cdots)$$

で、係数は Catalan 数である。1 次の項 $s=-a/\tau=-c^2\tau k^2=-Dk^2$ は (3) の拡散方程式の減衰率そのもので、2 次の $-a^2/\tau=-\tau D^2k^4$ は Burnett 方程式に当たる補正である。$ck\tau=0.1$（$a=0.01$）では厳密値 $s\tau=-0.0101021$ に対し 1 次は $-0.01$ で、相対誤差は約 $1.0\%$、2 次まで取ると約 $2\times10^{-4}$ に下がる。$ck\tau=\frac12$（$a=\frac14$）では厳密値 $s\tau=-\frac12$ に対し 1 次は $-\frac14$ で、2 倍もずれる。展開の係数の比は $4$ に近づくので、級数は $\lvert a\rvert <\frac14$ でしか収束せず、$ck\tau>\frac12$ では $s$ が複素数になって遅い枝と速い枝が合流する。波長が平均自由行程（$c\tau$）の数倍より短い擾乱には、拡散という記述そのものが当てはまらない（検算スクリプト）。

(5) 速い枝は $s\tau=-1+a+a^2+\cdots$ で、$s\approx-1/\tau$ は流束 $j$ が局所平衡 $j=-c^2\tau\partial_x\rho$ へ時間 $\tau$ で緩和する過程を表す。初期値が局所平衡になっていなければ、最初の $\mathcal{O}(\tau)$ の時間に初期層ができ、その後は遅い枝だけが残る。第7章の特異摂動で、小さい係数が最も速い項に付いた方程式に境界層ができたのと同じ構造である。分類に照らすと、向きの反転を一定の割合で起こすという衝突の模型そのものは、BGK と同じく C 型（衝突を単純な形で閉じる）の置き換えである。そこから拡散方程式を得る段は $\mathrm{Kn}\to0$ の B 型（極限）の近似で、拡散スケーリングの下では極限定理の形になる。2 次以降の補正は漸近展開の高次項として意味を持つが、収束半径 $a=\frac14$ の外では無力であり、本章で圧縮性 Navier–Stokes 方程式を「1 次の補正まで含めた方程式」と位置づけたのと同じ事情がこの模型でも成り立っている。