例題：空間一様 BGK と Knudsen 数の見積もり

(1) $\int(M_f-f)\phi=0$（$\phi=1,\bm{v},\lvert \bm{v}\rvert ^2$）なので、$f$ の $n,\bm{u},T$ は時間によらず、$M_f=M$ は定数である。すると方程式は $\partial_t(f-M)=-(f-M)/\tau$ という線型の常微分方程式になり、$f-M=(f_0-M)\mathrm{e}^{-t/\tau}$。

(2) $\theta=\mathrm{e}^{-t/\tau}\in(0,1]$ と置くと $f=\theta f_0+(1-\theta)M$。$\Phi(\theta)=H(\theta f_0+(1-\theta)M)$ は、$s\mapsto s\ln s$ が凸なので $\theta$ について凸である。$f_0$ と $M$ は同じモーメントを持つので、例題 8.3 から $\Phi(\theta)\ge\Phi(0)$。凸関数が $\theta=0$ で最小値を取るので $\Phi$ は $[0,1]$ で非減少であり、$\theta$ は $t$ について減少するから $H(t)$ は $t$ について非増加である（$f_0\neq M$ なら狭義凸性から狭義減少）。

(3) $f=M(1+\theta h)$、$h=(f_0-M)/M$ と書く。$\int Mh\phi=0$（$\phi=1,\bm{v},\lvert \bm{v}\rvert ^2$）であり、$\ln M$ はこれらの線型結合なので

$$\begin{aligned}H(t)-H(M)&=\int M(1+\theta h)\ln(1+\theta h)\,\mathrm{d}\bm{v}=\int M\Bigl(\theta h+\frac{\theta^2h^2}{2}+\mathcal{O}(\theta^3)\Bigr)\mathrm{d}\bm{v}\\ &=\frac{\theta^2}{2}\int Mh^2\,\mathrm{d}\bm{v}+\mathcal{O}(\theta^3).\end{aligned}$$

1 次の項は $\int Mh=0$ で消える。$\theta^2=\mathrm{e}^{-2t/\tau}$ なので、$H$ は分布そのもの（$\mathrm{e}^{-t/\tau}$）の 2 倍の速さで平衡値へ近づく。

図 8.2 は、1 次元速度で、$\pm2$ を中心とする幅 $0.5$ の 2 つの Gauss 分布を重ねた初期値（温度は $0.5^2+2^2=4.25$）の緩和である。数値解（Runge–Kutta 法）が厳密解と一致し、$H$ が単調に減り、$t=\tau$ から $2\tau$ で $H-H(M)$ がおよそ $\mathrm{e}^{2}$ 分の 1 になることを確かめた（検算スクリプト、データ scripts/gen_ch08.py）。

(1) $n=p/( k_{\mathrm B} T)=101325/(1.381\times10^{-23}\times293.15)\approx2.50\times10^{25}\,\mathrm{m^{-3}}$。$\pi d^2=\pi\times(0.37\times10^{-9})^2\approx4.30\times10^{-19}\,\mathrm{m^2}$ なので

$$\lambda=\frac{1}{1.414\times2.50\times10^{25}\times4.30\times10^{-19}}\approx6.6\times10^{-8}\,\mathrm{m}=66\,\mathrm{nm}.$$

粘性率の実測値 $\mu=1.81\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\,s}$ から $\lambda=(\mu/p)\sqrt{\pi k_{\mathrm B} T/(2m)}$ で逆算しても約 $65\,\mathrm{nm}$ となり、同じ桁である（検算スクリプト）。分子の平均の速さは $\bar c=\sqrt{8 k_{\mathrm B} T/(\pi m)}\approx463\,\mathrm{m/s}$ なので、平均自由時間は $\lambda/\bar c\approx0.14\,\mathrm{ns}$ である。

(2) $L=1\,\mathrm{mm}$ で $\mathrm{Kn}\approx6.6\times10^{-5}$、$L=1\,\mu\mathrm{m}$ で $\mathrm{Kn}\approx0.066$。

(3) $\lambda\propto1/n\propto1/p$ なので $\lambda\approx66\,\mathrm{nm}\times101325\approx6.7\,\mathrm{mm}$。

(4) 1 mm の管の大気圧の流れは Navier–Stokes 方程式の範囲に十分入る。1 μm の流路（微小機械の内部など）は滑りの境界条件が要る領域に入る。1 Pa の真空容器では、径が数 cm の容器でも $\mathrm{Kn}\sim0.1$ 以上になり、流体方程式でなく Boltzmann 方程式（あるいは粒子法）で扱う必要がある。地上の日常の流れで流体近似が非常によく成り立つのは、$\lambda$ が $0.1\,\mu\mathrm{m}$ 程度と極めて短いからである。