圧縮性から非圧縮性へ：低 Mach 数極限

近似の数理　第8章 §8.9　★★ 音波が速く振動して平均で消えるという、弱収束による極限の典型例

速い音波

等エントロピーの圧縮性 Euler 方程式を、流速 $U$ と音速 $c_s$ の比 $\varepsilon =\mathrm{Ma}$ で無次元化すると

$$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\bm{u})=0,\qquad \partial_t(\rho\bm{u})+\nabla\cdot(\rho\bm{u}\otimes\bm{u})+\frac{1}{\varepsilon ^2}\nabla p(\rho)=\bm{0}$$

になる。圧力の項に $\varepsilon ^{-2}$ が付くので、密度の揺らぎは $\rho=1+\varepsilon \sigma$ の形で $\mathcal{O}(\varepsilon )$ に抑えられる。線型の部分を取り出すと（音速を $1$ とする）

$$\partial_t\sigma+\frac{1}{\varepsilon }\nabla\cdot\bm{u}=\cdots,\qquad \partial_t\bm{u}+\frac{1}{\varepsilon }\nabla\sigma=\cdots\tag{8.55}$$

となり、音波が速さ $1/\varepsilon$ で伝わる。速度場を、発散が $0$ の部分 $\mathbb{P}\bm{u}$ と勾配の部分 $\mathbb{Q}\bm{u}$（Fourier 空間で波数ベクトルに垂直な成分と平行な成分）に分けると、式 (8.55) の速い振動に関わるのは $\sigma$ と $\mathbb{Q}\bm{u}$ だけであり、それらは $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\lvert \bm{k}\rvert t/\varepsilon }$ のように振動する。$\mathbb{P}\bm{u}$ は速い振動を持たない。

弱収束

典型例は $u_{\varepsilon }(t)=\cos(t/\varepsilon )$ である。$t\in[0,1]$ で各点の値は収束しないが、$\psi(t)=1-t$ に対して $\int_0^1\cos(t/\varepsilon )(1-t)\,\mathrm{d} t=\varepsilon ^2(1-\cos(1/\varepsilon ))\to0$ となり、一般の滑らかな $\psi$ でも部分積分によって $\mathcal{O}(\varepsilon )$ 以下になる。したがって $\cos(t/\varepsilon )\rightharpoonup 0$。一方で $\cos^2(t/\varepsilon )\rightharpoonup \frac12$ であり、$0$ の 2 乗の $0$ にはならない（数値は検算スクリプト）。弱収束は積と可換でない。振動のエネルギー（2 乗の平均）は弱極限に残るが、振動そのものは平均で消える。第2章で弱収束を導入したときの例、第9章の均質化で係数が速く振動する方程式の極限を考えるときの構造と同じである。

極限

$\varepsilon \to0$ で、音波の部分 $\sigma,\mathbb{Q}\bm{u}$ は速く振動して $0$ に弱収束し、$\mathbb{P}\bm{u}$ は非圧縮性 Euler 方程式（粘性があれば非圧縮性 Navier–Stokes 方程式）の解に収束する。圧力は $\nabla\cdot\bm{u}=0$ を保つための未定乗数（Lagrange 乗数）として現れ、もはや状態方程式で決まる量ではなくなる。初期値に音波の成分がない場合（よく準備された初期値）は、Klainerman と Majda（1981）によって強い意味の収束が示された。音波の成分がある場合（よく準備されていない初期値）は、音波が非線型項を通じて $\mathbb{P}\bm{u}$ に影響を残さないことを示す必要がある。全空間では音波が遠方へ散って局所的に減衰すること、周期的な箱では速い振動どうしの共鳴が平均で打ち消されることを使って、極限が示されている。