Navier–Stokes 方程式自体の数学

例題 8.9　エネルギー等式 ★★

オリジナル[標準的な題材を自作]周期的な箱 $\Omega$ 上で、式 (8.52) の滑らかな解について

$$\frac12\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int_\Omega\lvert \bm{u}\rvert ^2\mathrm{d}\bm{x}=-\nu\int_\Omega\lvert \nabla\bm{u}\rvert ^2\mathrm{d}\bm{x}$$

を示せ（$\lvert \nabla\bm{u}\rvert ^2=\sum_{i,j}(\partial_ju_i)^2$）。

1. 非線型項の寄与 $\int u_i u_j\partial_ju_i\,\mathrm{d}\bm{x}$ が $0$ になることを示せ。
2. 圧力項の寄与 $\int u_i\partial_iP\,\mathrm{d}\bm{x}$ が $0$ になることを示せ。
3. 粘性項の寄与を部分積分で計算し、等式を完成させよ。

定義 （$L^2$ 空間・弱微分・$H^1$ 空間）

領域 $\Omega$ 上の関数 $u$ で $\int_\Omega\lvert u\rvert ^2\mathrm{d}\bm{x}<\infty$ となるもの全体を $L^2(\Omega)$ と書く。$u\in L^2(\Omega)$ の弱微分 $\partial_ju$ とは、すべての滑らかな試験関数 $\psi$（周期的、または $\Omega$ の境界の近くで $0$）について $\int u\,\partial_j\psi=-\int(\partial_ju)\psi$ を満たす関数のことである。部分積分の公式が成り立つことを微分の定義にしたもので、通常の意味で微分できない関数（角のある関数など）にも微分が定まる。$u$ とその弱微分がすべて $L^2(\Omega)$ に入る関数全体を Sobolev 空間 $H^1(\Omega)$ と書く。

定理 8.13（Leray の弱解の存在（主張） ★★）

$\Omega=\mathbb{R}^3$ または周期的な箱とし、$\bm{u}_0\in L^2(\Omega)$ で $\nabla\cdot\bm{u}_0=0$ とする。このとき、すべての $t>0$ について $\bm{u}(t)\in L^2(\Omega)$ で、$\int_0^t\lVert \nabla\bm{u}\rVert ^2<\infty$ を満たす弱解が存在し、エネルギー不等式

$$\frac12\lVert \bm{u}(t)\rVert ^2+\nu\int_0^t\lVert \nabla\bm{u}(s)\rVert ^2\mathrm{d} s\le\frac12\lVert \bm{u}_0\rVert ^2$$

を満たす（Leray（1934））。