半古典運動と Peierls 置換は空間断熱摂動論

近似の数理　第12章 §12.5　★★★ $\varepsilon _n(\bm{k})$ を Hamiltonian とする半古典運動は、第7章の断熱定理を空間の向きへ移した定理で、ギャップで孤立したバンドについて証明されている

何を主張したいか

固体の輸送の理論は、電場 $\bm{E}$・磁場 $\bm{B}$ の中の電子を、バンドの分散を古典的な Hamiltonian とする運動

$$\hbar\dot{\bm{k}}=-e\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr),\qquad \dot{\bm{r}}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n(\bm{k})-\dot{\bm{k}}\times\bm{\Omega}_n(\bm{k})\tag{12.15}$$

で記述する。量子の側でこれに対応するのが Peierls 置換で、ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ とスカラーポテンシャル $\phi$ のある問題の Hamiltonian を

$$H_{\mathrm{eff}}=\varepsilon _n\Bigl(\frac{\bm{p}+e\bm{A}(\bm{r})}{\hbar}\Bigr)-e\phi(\bm{r})\tag{12.16}$$

（$\varepsilon _n(\bm{k})$ の $\bm{k}$ に運動学的な波数を代入したもの）で置き換える（R. Peierls (1933), Z. Phys. 80, 763）。(12.15) の Berry 曲率 $\bm{\Omega}_n$ の項はこの最低次には入っていない1次の補正である。この節の問いは、(12.1) に外場を足した元の問題から、これらがどういう極限で、どの前提で出てくるかである。

空間断熱：遅いのは時間でなく場所

第7章の断熱定理では、Hamiltonian が遅い時間 $s=\eta t$ の関数で、ギャップ $g>0$ があれば状態は瞬間的な固有空間に $\mathcal{O}(\eta)$ の誤差で追随した（近似の数理 第7章）。ここでは外場が場所についてゆっくり変わる：$\bm{A}(\eta\bm{r})$、$\phi(\eta\bm{r})$、$\eta=a/\ell\ll1$。格子の尺度で見ると電子は各点で「一様な結晶の中にいて、波数 $\bm{k}$ の状態にある」とみなせ、遅い変数 $(\bm{r},\bm{k})$ に依存する Hamiltonian $H(\bm{k})$ のファイバーの固有空間（バンド $n$）が、断熱定理の「瞬間的な固有空間」の役をする。速い自由度は単位胞の中の運動で、遅い自由度は包絡線の位置と波数である。

この見方を作用素の定理に仕上げたのが空間断熱摂動論である（G. Panati, H. Spohn and S. Teufel (2003), Commun. Math. Phys. 242, 547）。主張の形は次のとおりである。

誤差の次数の正確な形と、磁場が強い場合（$\bm{B}$ を $\eta$ 倍しない場合）の扱いは原論文によるので、ここでは主張の骨格だけを書いた。物理の直観との対応ははっきりしている。「バンドの中を走る」とは、断熱定理で「固有状態に留まる」ことであり、Berry 曲率の項は第7章の Berry 位相（幾何学的な位相）の空間版である（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章）。半古典運動を作用角変数で量子化して de Haas–van Alphen 振動を出す話は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第10章 にある。

前提のギャップ条件が破れる所で、近似は破れる。バンドが交差・接触する点（グラフェンの Dirac 点・Weyl 点）では瞬間的な固有空間が滑らかに追えず、電場が強いとバンドの間を飛び移る Zener 遷移が起きる。Zener 遷移の確率は、ギャップの近くで2本のバンドの2×2 の問題に帰着させると第7章の Landau–Zener の公式の形になり、目安は「1格子間隔で電場がする仕事 $eEa$ が $\varepsilon _{\mathrm g}^2/W$（$W$ はバンド幅）より十分小さい」ことである。

Bloch 振動：厳密に解ける場合

一様な電場の中の1本の tight-binding バンドは、半古典運動と量子の運動を両方とも閉じた形で書け、比べられる。1次元の鎖$H=-t_{\mathrm h}\sum_n(| n \rangle \langle n+1 |+| n+1 \rangle \langle n |)+F\sum_nn| n \rangle \langle n |$（$F=eEa>0$、電子の位置エネルギーが $+x$ 向きに増える向きに電場をかける）を考える。半古典運動では $\hbar\dot k=-F/a$ なので $k(t)=k_0-Ft/(\hbar a)$、速度 $\dot x=\frac1\hbar\frac{\partial \varepsilon }{\partial k}=\frac{2t_{\mathrm h}a}{\hbar}\sin(ka)$ を積分して

$$x(t)=x_0+\frac{2t_{\mathrm h}a}{F}\bigl[\cos(k(t)a)-\cos(k_0a)\bigr]\tag{12.17}$$

を得る。電子は電場の中で加速し続けず、周期 $T_{\mathrm B}=2\pi\hbar/F$、振れ幅（山と谷の差）$4t_{\mathrm h}a/F=Wa/F$ で往復する（Bloch 振動）。量子の側では、$H$ のスペクトルは間隔 $F$ の等間隔の準位（Wannier–Stark 準位）で、時間発展はちょうど周期 $2\pi\hbar/F$ で元に戻る。図 12.3 は、幅の広い波束の重心の量子力学の時間発展と (12.17) の比較で、2つは図の精度で重なる。この模型は1本のバンドしか持たないので Zener 遷移は起こらず、半古典運動は波束が広い極限で厳密に正しい。