Wannier 関数の局在と Chern 数

近似の数理　第12章 §12.6　★★★ tight-binding の基底を厳密に作れるかどうかは Bloch 関数を k について滑らかに選べるかで決まり、その障害が Chern 数である

Wannier 関数

12.2 節の tight-binding は、原子軌道という「本当の基底ではないもの」で近似した。これに対して、1本のバンドの固有空間を厳密に張る局在した基底を作れるか、と問うことができる。孤立したバンド $n$ の Bloch 関数 $\psi_{n\bm{k}}$ から

$$w_{\bm{R}}(\bm{r})=\int_{\mathrm{BZ}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(\bm{k})}\psi_{n\bm{k}}(\bm{r})\,\frac{\mathrm{d}\bm{k}}{\lvert \mathrm{BZ}\rvert }\tag{12.18}$$

を作ると、$\{w_{\bm{R}}\}_{\bm{R}}$ はバンド $n$ の固有空間の正規直交基底になる（G. H. Wannier (1937), Phys. Rev. 52, 191）。$w_{\bm{R}}(\bm{r})=w_{\bm{0}}(\bm{r}-\bm{R})$ なので、1つの関数 $w=w_{\bm{0}}$ の並進でできている。この基底で $H$ を書くと、行列要素は $\bm{R}-\bm{R}'$ だけの関数で、$\varepsilon _n(\bm{k})$ の Fourier 係数そのものになる。つまり Wannier 基底での $H$ は厳密な tight-binding 行列であり、ホッピングが遠くまでどれだけ速く減るかは $\varepsilon _n(\bm{k})$ の滑らかさで決まる。ここまでは A 型の射影（バンドの固有空間へ）で誤差は無い。近似が入るのは、遠くのホッピングを捨てるときである。

(12.18) の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(\bm{k})}$ は自由に選べる。Bloch 関数は各 $\bm{k}$ で位相を除いてしか決まらないからである（ゲージの自由度）。$w$ の局在はこの選び方に強く依存する。

これは第4章の「解の滑らかさが基底展開の収束の速さを決める」と同じ関係を、$\bm{k}$ と $\bm{R}$ の Fourier の組で見たものである。

1次元：いつでも局在させられる

孤立したバンドでは、スペクトル射影 $P(\bm{k})=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint(z-H(\bm{k}))^{-1}\mathrm{d} z$（ギャップの中を回る周回積分）が $\bm{k}$ について解析的である（第3章の Riesz 射影を $\bm{k}$ の族にしたもの。ギャップがあるので積分路を $\bm{k}$ によらずに取れる）。射影が解析的でも、その値域から単位ベクトルを「周期的かつ解析的に」選べるかは別の問題である。1次元では平行移動で位相を決め、1周したときに付く位相（Zak 位相）を1周にわたって均等に戻せばよいので、いつでも選べる。W. Kohn (1959), Phys. Rev. 115, 809 は反転対称な1次元の周期ポテンシャルで、指数的に局在した Wannier 関数の存在を示した。

1次元のトポロジーは局在を妨げず、Wannier 関数の中心の位置に現れる。中心 $\langle x \rangle _w$ は Zak 位相 $\gamma$ を用いて $\langle x \rangle _w=\gamma a/(2\pi)$（$a$ を法として）と書け（$a$ を法とし、符号は位相の向きの取り方による。J. Zak (1989), Phys. Rev. Lett. 62, 2747）、反転対称な鎖では $\gamma$ は $0$ か $\pi$ に限られる。$\pi$ のとき中心は原子の上でなく結合の中点に来る。この「中心がずれた」状態を有限の鎖で切ると、端に半端な電荷と端の状態が残る（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第2部第8章）。

2次元・3次元：Chern 数が障害になる

2次元では事情が変わる。Bloch 関数の位相を BZ（トーラス）全体で滑らかに選べるかは、Berry 曲率の積分

$$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_n(\bm{k})\,\mathrm{d}^2k\tag{12.19}$$

が $0$ かどうかで決まる。$C_n\ne0$ なら、BZ の境界を1周する位相の巻き数が $0$ でなく、どう選んでもどこかで位相が飛ぶ。これは Thouless が磁場の中のバンドについて指摘した（D. J. Thouless (1984), J. Phys. C 17, L325）。数学の定理としては次の形になっている。

中間は無い。指数的に局在させられるか、位置の2乗の期待値すら有限にできないかのどちらかである。tight-binding の言葉に直すと、Chern 数が $0$ でない1本のバンドは、そのバンドだけを残した短距離のホッピングの模型では書けない。これがトポロジーが tight-binding を阻むということの正確な意味である。注意したいのは、Chern 絶縁体の標準的な模型（2軌道の Qi–Wu–Zhang 模型$h(\bm{k})=\sin k_x\,\sigma_x+\sin k_y\,\sigma_y+(m+\cos k_x+\cos k_y)\sigma_z$）自体は短距離の tight-binding 模型だということである。2本のバンドを合わせた Chern 数の和は $0$ なので、2本の族としては局在した基底（元の2つの軌道）がある。阻まれるのは、そのうち1本だけを切り出して局在基底で書くことである。この模型の下のバンドの Chern 数は、$0<\lvert m\rvert <2$ で $\pm1$、$\lvert m\rvert >2$ で $0$ である（検算スクリプト。符号は向きの取り方に依存する）。バルクの Chern 数が端の状態の数と等しいこと（バルクと端の対応）は、相互作用の無いギャップのある系で証明されている（Y. Hatsugai (1993), Phys. Rev. Lett. 71, 3697）。