出てくるもの2：鎖の端とソリトンの準位

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第8章 §2.8.4　★★ 弱い結合で終わる端と、2つの Kekulé 構造の境目には、ギャップの中央 $\varepsilon =0$ に孤立した準位が1つずつ現れる。その数は $h(k)$ の巻き数で決まる

端の準位

2量体化した鎖を有限の長さで切ると、端の結合が強い（$t_1$）か弱い（$t_2$）かで違いが出る。サイト $1,2,\dots,N$（$N$ は偶数）の鎖の結合を、弱い・強い・弱い・…・弱いの順に並べる（$N$ 個のサイトに $N-1$ 本の結合があり、両端が弱い結合になる）。このとき $\varepsilon =0$ の固有状態を探す。Schrödinger 方程式の $n$ 番目の成分は $-t_{n-1}\psi_{n-1}-t_n\psi_{n+1}=\varepsilon \psi_n$ で、$\varepsilon =0$ では奇数番目のサイトの振幅と偶数番目のサイトの振幅が別々の式に分かれる。偶数番目をすべて $0$ とし、奇数番目について解くと、サイト2の式 $-t_{\mathrm w}\psi_1-t_{\mathrm s}\psi_3=0$ から

$$\psi_{2j+1}=\Bigl(-\frac{t_{\mathrm w}}{t_{\mathrm s}}\Bigr)^j\psi_1,\qquad \psi_{2j}=0\tag{2.8.13}$$

を得る（$t_{\mathrm s}=t+\lvert y\rvert$, $t_{\mathrm w}=t-\lvert y\rvert$ は強い結合と弱い結合のホッピング）。$t_{\mathrm w}<t_{\mathrm s}$ なので振幅は左端から指数関数的に減り、左端に局在した状態になる。減る長さは、単位胞（長さ $2a$）ごとに $t_{\mathrm w}/t_{\mathrm s}$ 倍になることから

$$\xi=\frac{2a}{\ln(t_{\mathrm s}/t_{\mathrm w})}\tag{2.8.14}$$

である。右端にも同じ形の状態があり、鎖が長ければ2つの状態は $\mathrm{e}^{-Na/\xi}$ の桁の小さな重なりで $\pm$ にわずかに分かれるだけで、どちらもギャップの中央に残る（図 2.8.3）。逆に端が強い結合で終わる鎖では、同じ式で振幅が端から増えてしまうので規格化できず、端の準位は無い。

この違いは直観的にも分かる。弱い結合で終わる鎖では、端のサイトは隣と弱くしかつながっておらず、強い結合の対を作れずに1個だけ余っている。余った1個の $p_z$ 軌道が、ギャップの中央 $\varepsilon _{\mathrm a}=0$ の準位として残る。

ソリトン：2つの Kekulé 構造の境目

長い鎖の途中で、左側は $u>0$、右側は $u<0$ の2量体化になっている配置を考える。境目の近くでは、強い結合の対を作れないサイトが1個余る。左側から見るとそのサイトは弱い結合で終わる端、右側から見ても弱い結合で終わる端になっており、上と同じ理由で境目に局在した $\varepsilon =0$ の準位が1つ現れる。実際の鎖では $u_n$ は境目で急に符号を変えず、ある幅にわたって滑らかに $+u_0$ から $-u_0$ へ移る。この境目をソリトンと呼ぶ。SSH は数値計算で、ソリトンの幅が約 $7a$、ソリトン1個を作るエネルギーが $0.42\,\mathrm{eV}$ になることを示した（Su–Schrieffer–Heeger 1980）。連続極限の模型での解析では、ソリトン1個のエネルギーは $2\Delta_0/\pi$ になる（H. Takayama, Y. R. Lin-Liu and K. Maki (1980), Phys. Rev. B 21, 2388）。$\Delta_0=0.650\,\mathrm{eV}$ なら $0.414\,\mathrm{eV}$ で、ギャップの半分 $\Delta_0$ より小さい。電子を1個ギャップの上へ上げるより、ソリトンを作る方がエネルギーが安い。

ギャップの中央の準位は、スピンを含めて席が2つある。電子が1個入るとソリトンは電荷 $0$・スピン $\frac12$、2個入ると電荷 $-e$・スピン $0$、空なら電荷 $+e$・スピン $0$ になる（Su–Schrieffer–Heeger 1980）。電荷とスピンの組み合わせが普通の電子（電荷 $-e$・スピン $\frac12$）と逆になっている。ポリアセチレンにドーピングで電荷を入れると、電子はバンドへ入らず、電荷をもちスピンをもたないソリトンになると考えられている。

巻き数：端の準位の数を $h(k)$ から数える

端の準位があるかどうかは、無限に長い鎖の $h(k)$ だけから決まる。式 (2.8.5) の非対角成分を

$$q(k)\coloneqq-\bigl(t_1+t_2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} ka}\bigr)$$

と書くと、$k$ が Brillouin 域を1周するとき、$q(k)$ は複素平面の上で中心 $-t_1$、半径 $t_2$ の円を1周する。$t_2<t_1$ なら円は原点を囲まず、$t_2>t_1$ なら原点を1回囲む。原点のまわりを回る回数

$$W\coloneqq\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{-\pi/(2a)}^{\pi/(2a)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k}\ln q(k)\,\mathrm{d} k =\begin{cases}0 & (t_1>t_2)\\ -1 & (t_1<t_2)\end{cases}\tag{2.8.15}$$

が、$h(k)$ の巻き数である（$\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} ka}$ は $k$ が増えると時計回りに回るので、原点を囲むときの符号は $-1$ になる）。$t_1=t_2$（ギャップが閉じる所）を通らない限り、$t_1$, $t_2$ を連続に変えても $W$ は整数のまま変わらない。

単位胞を (A, B) で区切った鎖を左端で切ると、端の結合は単位胞の中の結合 $t_1$ の反対側、すなわち左端の A サイトは単位胞の中の $t_1$ だけで隣とつながる。$t_1<t_2$（$\lvert W\rvert =1$）なら端の結合が弱く、端の準位が1つある。$t_1>t_2$（$W=0$）なら端の結合が強く、端の準位は無い。端の準位の数が無限の鎖の巻き数 $\lvert W\rvert$ に等しいというこの対応は、第5部で扱うトポロジカル絶縁体の「バルクと端の対応」の最も簡単な例である（第5部第6章）。巻き数を数えるとき、$h(k)$ の対角成分が $0$ であること（A どうし・B どうしの飛び移りが無いこと）を使った。この性質（カイラル対称性）が崩れると、$h(k)$ は2次元の円でなく3次元の球面の上を動くので、原点を囲むという言い方が使えなくなる。