出てくるもの1：Peierls 転移

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第8章 §2.8.3　★★★ 電子のエネルギーの下がり方は $y^2\ln(1/y)$、ばねの損は $y^2$ なので、小さな $y$ では必ず電子が勝ち、等間隔の鎖は不安定になる

全エネルギーを楕円積分で書く

半分詰まった鎖で、下のバンド $\varepsilon _-$ をスピン2つ分埋めたときの全エネルギーを計算する。$k$ の点は $N/2$ 個あり、$N\to\infty$ で和を積分に直すと、サイト1個あたりの電子のエネルギーは

$$\frac{E_{\mathrm{el}}}{N}=\frac{2}{N}\sum_k\varepsilon _-(k)=-\frac1\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\sqrt{t^2\cos^2\phi+y^2\sin^2\phi}\,\mathrm{d}\phi$$

である（$\phi=ka$。$k$ の点の間隔は $\pi/(Na)$ なので $\sum_k\to\frac{Na}{\pi}\int\mathrm{d} k$）。$\cos^2\phi+z^2\sin^2\phi=1-(1-z^2)\sin^2\phi$ と書き直すと、第2種の完全楕円積分 $\mathrm E(m)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^2\phi}\,\mathrm{d}\phi$ になり、ばねのエネルギーを足して

$$\frac{E(u)}{N}=-\frac{4t}{\pi}\,\mathrm E\bigl(1-z^2\bigr)+2Ku^2,\qquad z\coloneqq\frac yt=\frac{2\alpha u}{t}\tag{2.8.8}$$

を得る。$u=0$ では $\mathrm E(1)=1$ なので $E/N=-4t/\pi$ で、等間隔の鎖の半分詰まりのエネルギーに一致する。

対数が現れる理由

$z\to0$ で $\mathrm E(1-z^2)$ は

$$\mathrm E\bigl(1-z^2\bigr)=1+\frac{z^2}{2}\Bigl(\ln\frac4z-\frac12\Bigr)+\mathcal{O}\Bigl(z^4\ln\frac1z\Bigr)\tag{2.8.9}$$

と展開される。したがって全エネルギーの変化は

$$\frac{E(u)-E(0)}{N}\approx-\frac{2t}{\pi}z^2\Bigl(\ln\frac4z-\frac12\Bigr)+\frac{Kt^2}{2\alpha^2}z^2\tag{2.8.10}$$

である（ばねの項は $2Ku^2=2K\bigl(tz/(2\alpha)\bigr)^2$ を $z$ で書き直した）。ばねの損は $z^2$ に比例するが、電子の得は $z^2\ln(1/z)$ に比例する。$z\to0$ で $\ln(1/z)$ はいくらでも大きくなるので、十分小さな $z$ では電子の得が必ず勝つ。等間隔の配置 $u=0$ は全エネルギーの極大で、鎖は必ず2量体化する。これが Peierls 転移（R. E. Peierls (1955), Quantum Theory of Solids, Oxford University Press）である。

対数がどこから出るかを、エネルギーの言葉で見ておく。ギャップを開くと、Fermi 準位の近くの占有状態は $\lvert \varepsilon \rvert$ から $\sqrt{\varepsilon ^2+\Delta_0^2}$ へ押し下げられる。押し下げの大きさは $\lvert \varepsilon \rvert \gg\Delta_0$ の状態では $\Delta_0^2/(2\lvert \varepsilon \rvert )$ で、1次元の鎖では Fermi 準位の近くの状態密度 $D(\varepsilon _{\mathrm F})$ が有限なので、得を $\varepsilon$ について足し上げると $D(\varepsilon _{\mathrm F})\Delta_0^2\int_{\Delta_0}^{W}\frac{\mathrm{d}\varepsilon }{2\varepsilon }\sim D(\varepsilon _{\mathrm F})\Delta_0^2\ln(W/\Delta_0)$ となる（$W$ はバンドの幅の桁）。対数は、Fermi 準位のすぐ近くの多数の状態が少しずつ押し下げられた和である。これが成り立つには、歪みの波数 $\pi/a$ が Fermi 面の両側 $k_{\mathrm F}$ と $-k_{\mathrm F}$ を結ぶ（$2k_{\mathrm F}=\pi/a$）ことが要る。1次元では Fermi 面が2点しかないので、1つの波数で Fermi 面全体を結ぶことができる。2次元・3次元では一般にそれができず、Peierls 転移は Fermi 面の形が特別なときにだけ起きる。

歪みの大きさとギャップ

式 (2.8.10) を $z$ で微分して $0$ とおくと、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}\bigl[z^2(\ln\frac4z-\frac12)\bigr]=2z(\ln\frac4z-1)$ なので

$$\frac{Kt^2}{\alpha^2}z-\frac{4t}{\pi}z\Bigl(\ln\frac4z-1\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{4}{z_0}=1+\frac{\pi Kt}{4\alpha^2}$$

である。無次元の結合定数

$$\lambda\coloneqq\frac{2\alpha^2}{\pi Kt}\tag{2.8.11}$$

を使うと、ギャップの半分 $\Delta_0=2y_0=2tz_0$ と、極小での全エネルギーの変化は

$$\Delta_0\approx8t\,\mathrm{e}^{-1-1/(2\lambda)},\qquad \frac{E(u_0)-E(0)}{N}\approx-\frac{t}{\pi}z_0^2=-\frac{\Delta_0^2}{4\pi t}\tag{2.8.12}$$

になる。2つ目の式は、極小の条件 $\frac{Kt^2}{2\alpha^2}=\frac{2t}{\pi}(\ln\frac4{z_0}-1)$ を式 (2.8.10) に戻して得た。$\Delta_0$ は $\lambda$ について $\mathrm{e}^{-1/(2\lambda)}$ の形で、$\lambda\to0$ で $\lambda$ のどの冪よりも速く $0$ に近づく。弱い結合でも2量体化は必ず起きるが、その大きさは $\lambda$ の摂動級数の項としては現れない（第5部第4章の BCS のギャップと同じ形である）。

式 (2.8.2) の値では $\lambda=0.204$ で、式 (2.8.12) から $\Delta_0\approx0.633\,\mathrm{eV}$、$u_0=\Delta_0/(4\alpha)\approx0.0386\,\mathrm{\AA}$ になる。展開する前の式 (2.8.8) を数値で最小にすると $u_0=0.0397\,\mathrm{\AA}$、$\Delta_0=0.650\,\mathrm{eV}$、ギャップ $E_{\mathrm g}=2\Delta_0=1.30\,\mathrm{eV}$、全エネルギーの下がり $13.1\,\mathrm{meV}$/サイトで、展開の誤差は数 % である（図 2.8.2）。SSH の原論文は $u_0=0.04\,\mathrm{\AA}$ を報告し、ギャップ $1.4\,\mathrm{eV}$ に合うように $\alpha$ を選んで $4.1\,\mathrm{eV/\AA}$ と丸めている。丸めた $\alpha$ でこの章の式から計算したギャップは $1.30\,\mathrm{eV}$ である。

半分詰まり以外のとき

電子の数がサイト1個あたり $\nu$ 個（$0<\nu<2$）のとき、Fermi 波数は $k_{\mathrm F}=\nu\pi/(2a)$ で、同じ議論は波数 $2k_{\mathrm F}$ の歪み、すなわち周期 $\pi/k_{\mathrm F}=2a/\nu$ の歪みに当てはまる。$\nu=1$ が周期 $2a$ の2量体化で、$\nu=2/3$ なら周期 $3a$ の3量体化になる。$2a/\nu$ が $a$ の有理数倍でないときは、格子と合わない周期の電荷の濃淡（電荷密度波）が現れる。この章では、ポリアセチレンにあたる $\nu=1$ だけを扱う。