当てる道具：単位胞を原子2個に広げた Bloch の定理

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第8章 §2.8.2　★★★ 2量体化した鎖は原子2個の単位胞をもつ。$k$ ごとの $2\times2$ の行列を対角化すると、ゾーンの端に幅 $4y$ のギャップが開く

$2\times2$ の Bloch の行列

2量体化した鎖は、サイト2個ずつで同じ形を繰り返す。単位胞 $j$ の中の2つのサイトを A（サイト $2j$）と B（サイト $2j+1$）と呼ぶと、単位胞の中の結合はホッピング $t_1$、隣の単位胞の A へ渡る結合は $t_2$ である。単位胞の長さは $2a$ なので、Bloch の定理（第2部第4章）で$\hat c_{jA}=\frac{1}{\sqrt{N/2}}\sum_k\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\cdot2aj}\hat c_{kA}$（B も同様）と書き換えると、波数 $k$ ごとに A と B の2つの成分だけが残る。$k$ の範囲は単位胞の長さ $2a$ に対する Brillouin 域 $-\pi/(2a)<k\le\pi/(2a)$ で、等間隔の鎖の Brillouin 域の半分である。各スピンについて、電子の部分は $\hat H=\sum_{k\sigma}(\hat c^\dagger_{kA\sigma},\hat c^\dagger_{kB\sigma})\,h(k)\,(\hat c_{kA\sigma},\hat c_{kB\sigma})^{\mathsf T}$ と書け、

$$h(k)=\begin{pmatrix}0&-\bigl(t_1+t_2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} ka}\bigr)\\-\bigl(t_1+t_2\mathrm{e}^{2\mathrm{i} ka}\bigr)&0\end{pmatrix}\tag{2.8.5}$$

である。対角成分が $0$ なのは、A どうし・B どうしの飛び移りが無いためである。非対角の $(1,2)$ 成分の $t_2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} ka}$ は、B から隣の単位胞の A へ飛ぶ項 $-t_2\hat c^\dagger_{j+1,A}\hat c_{jB}$ を波数で書き直したときの位相である。

バンドとギャップ

$h(k)$ の固有値は $\pm\lvert t_1+t_2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} ka}\rvert$ で、式 (2.8.4) の $t_1=t+y$, $t_2=t-y$ を入れると

$$\varepsilon _\pm(k)=\pm\sqrt{t_1^2+t_2^2+2t_1t_2\cos(2ka)}=\pm2\sqrt{t^2\cos^2(ka)+y^2\sin^2(ka)}\tag{2.8.6}$$

になる。2つ目の等号は $t_1^2+t_2^2=2t^2+2y^2$、$t_1t_2=t^2-y^2$、$1+\cos(2ka)=2\cos^2(ka)$ を使って整理した。ほかの巻では同じ鎖を別の字で書く。近似の数理 第13章ではホッピングを $t\pm\delta$（$\delta$ がこの章の $y=2\alpha u$）、ばねの係数を $\kappa$（この章の $K/\alpha^2$）と書き、近似の数理 第12章では胞の中と隣の胞へのホッピングを $v,w$（この章の $t_1,t_2$）、相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第5部第1章では $t(1\pm\delta)$（$\delta$ がこの章の $y/t$）と書く。

$y=0$ では $\varepsilon _\pm(k)=\pm2t\lvert \cos(ka)\rvert$ で、これは等間隔の鎖のバンド $-2t\cos(ka)$（第2部第3章）を半分の Brillouin 域へ折り返したものである。実際、元のバンドの $k$ と $k+\pi/a$ の2つの値 $-2t\cos(ka)$ と $-2t\cos(ka+\pi)=+2t\cos(ka)$ が、折り返した後の同じ $k$ に重なる。折り返しただけでは何も変わらず、ゾーンの端 $k=\pm\pi/(2a)$ で2本のバンドは $0$ で接している。

$y\neq0$ にすると、ゾーンの端で $\varepsilon _\pm=\pm2\lvert y\rvert$ となり、

$$E_{\mathrm g}=4\lvert y\rvert =8\alpha\lvert u\rvert ,\qquad \Delta_0\coloneqq2\lvert y\rvert\tag{2.8.7}$$

のギャップが開く（$\Delta_0$ はギャップの半分。記号は SSH の原論文と同じにした）。ゾーンの中央 $k=0$ では $\varepsilon _\pm=\pm2t$ のままで、バンドの幅はほとんど変わらない。ギャップが開く場所 $k=\pm\pi/(2a)$ は等間隔の鎖の Fermi 波数 $k_{\mathrm F}=\pi/(2a)$ そのものである。原子1個あたり電子1個（スピンを入れて半分詰まり）では、下のバンド $\varepsilon _-$ がちょうど全部埋まり、上のバンド $\varepsilon _+$ は空になる。2量体化した鎖は、ギャップ $E_{\mathrm g}$ の絶縁体である。

これは第2部第5章のほぼ自由な電子でギャップが開く仕組みと同じである（第2部第5章）。波数 $\pi/a$ の周期の歪み（周期 $2a$）は、$k$ と $k-\pi/a$ の状態を混ぜ、両者のエネルギーがそろう $k=\pi/(2a)$ で縮退を解く。違いは、ほぼ自由な電子では周期ポテンシャルが最初から与えられていたのに対し、ここでは歪みの大きさ $u$ をまだ決めていないことにある。

図 2.8.1　2量体化した鎖のバンド (2.8.6)。横軸は原子2個の単位胞の Brillouin 域。点線は等間隔の鎖（$y=0$）のバンドを折り返したもの、実線はポリアセチレンの値 $y/t=0.130$ のもので、ゾーンの端 $ka=\pm\pi/2$ に幅 $4y$ のギャップが開く。どちらも式 (2.8.6) の厳密な値で、線種は2つの $y$ を区別するためのものである。