比べる2つの状態：全体の状態と部分系の積

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第5部 第1章 §5.1.1　★★★ 純粋状態では全体と部分系の積の相対エントロピーが部分系のエントロピーの2倍になり、それが体積に比例するか境界に比例するかで状態の性格が分かれる

格子の上に $N$ 個のスピンが並んだ系の状態は、$2^N$ 個の複素数で書ける。$N=100$ なら $2^{100}\approx1.27\times10^{30}$ 個で、どんな計算機の記憶にも収まらない。それでも1次元の量子スピン鎖の基底状態は、長い鎖でも計算機で高い精度で求められている（5.1.5 節の密度行列くりこみ群）。この章で扱う問いは、なぜそれができるのか、である。答えを先に書くと、物理で出てくる状態の大半は、乱数で選んだ状態に比べてもつれが極端に少なく、そのもつれは部分系の「境界」の近くにしかない。この性質を面積則と呼ぶ。

この巻の言葉で言い直すと、この章で比べる2つの状態は、多体系の状態 $\hat\rho_{AB}$ と、それを領域 $A$ とその外 $B$ に分けて周辺をかけ合わせた積状態 $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B$ である。その間の相対エントロピーが量子相互情報量 $I(A;B)=D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B)$ で、純粋状態ではそれが部分系の von Neumann エントロピー（エンタングルメント・エントロピー）の2倍になる。当てる性質は、第2部第2章と第3部第2章で示した Gibbs の変分原理（$k_{\mathrm B}T\,D(\hat\sigma\,\|\,\hat\rho_\beta)=F(\hat\sigma)-F_{\mathrm{eq}}\ge0$）である。相手の状態 $\hat\sigma$ に積状態 $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B$ を入れると、熱状態の相互情報量が境界の大きさで押さえられる、という面積則が数行で出る。

出てくるものは3つある。1つ目は、1次元で励起にエネルギーの gap がある系の基底状態では、部分系がどれだけ長くてもエンタングルメント・エントロピーが一定の値を超えないこと（Hastings の定理）と、それを自由フェルミオンの鎖で実際に計算する方法（相関行列の方法）。2つ目は、gap が閉じた臨界点ではエントロピーが部分系の長さの対数で増え、その係数が中心電荷 $c$ という普遍的な数で決まること。3つ目は、面積則を満たす状態が行列の積（行列積状態）で少ない数のパラメータで書けることで、ここが冒頭の問いへの答えになる。最後に、学部の統計力学で習う「エントロピーは示量変数（体積に比例する）」という形と、この章の面積則がどう両立するかを、熱状態の計算で確かめる。

この章の対数は自然対数で、情報量の単位は nat とする。Pauli 行列は $X$、$Y$、$Z$、恒等演算子は $\mathbf 1$ と書く（第3部と同じ）。フェルミオンの生成消滅演算子は $\hat c_i^\dagger$、$\hat c_i$、2準位の二値エントロピーは $h_{\mathrm b}(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)$ である。

格子・領域・境界

格子 $\Lambda$ の各点（サイト）に $d$ 次元の量子系が1つずつ載っているとする。スピン $\frac12$ なら $d=2$ である。全体の Hilbert 空間は各サイトの空間のテンソル積で、次元は $d^{\lvert \Lambda\rvert }$ になる。$\lvert \Lambda\rvert$ はサイトの数である。格子のサイトを2つに分け、一方を領域 $A$、残りを $B$ とする。$A$ のサイトの数 $\lvert A\rvert$ を $A$ の体積、$A$ のサイトと $B$ のサイトを結ぶ最近接の結合の本数 $\lvert \partial A\rvert$ を $A$ の境界の大きさ（面積）と呼ぶ。1次元の鎖で $A$ を長さ $L$ の区間に取れば $\lvert A\rvert =L$、$\lvert \partial A\rvert =2$ で、境界の大きさは $L$ によらない。2次元の正方格子で$A$ を $L\times L$ の正方形に取れば $\lvert A\rvert =L^2$、$\lvert \partial A\rvert =4L$ である（図 5.1.1）。一般に $n_{\mathrm{dim}}$ 次元の格子で一辺 $L$ の領域を取ると、体積は $L^{n_{\mathrm{dim}}}$、境界は $L^{n_{\mathrm{dim}}-1}$ に比例する。

エンタングルメント・エントロピー

全体が純粋状態 $| \Psi \rangle$ にあるとき、比べる2つの状態は $\hat\rho_{AB}=| \Psi \rangle \langle \Psi |$ と $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B$ である（$\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho_{AB}$）。第3部第2章（第3部第2章）で示したとおり、その相対エントロピーは量子相互情報量

$$I(A;B)=D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B)=S(\hat\rho_A)+S(\hat\rho_B)-S(\hat\rho_{AB})\tag{5.1.1}$$

で、純粋状態では $S(\hat\rho_{AB})=0$、Schmidt 分解から $S(\hat\rho_A)=S(\hat\rho_B)$ なので

$$I(A;B)=2S(\hat\rho_A)\qquad(\hat\rho_{AB}\ \text{が純粋のとき})\tag{5.1.2}$$

となる。第3部第4章（第3部第4章）では、純粋状態のもつれの量は相対エントロピー・オブ・エンタングルメントでも $E_{\mathrm R}=S(\hat\rho_A)$ になり、多数のコピーから取り出せる最大にもつれた対の数もこれで決まることを示した。そこで次のように定める。

上限は必ず体積で押さえられる。$\hat\rho_A$ は $d^{\lvert A\rvert }$ 次元の密度行列なので、$S(\hat\rho_A)\le\lvert A\rvert \ln d$ であり、$B$ の側から見れば $S(\hat\rho_A)=S(\hat\rho_B)\le\lvert B\rvert \ln d$ でもある。面積則は、この上限よりはるかに小さい値に留まる、という強い主張である。混合状態では $S(\hat\rho_A)$ に熱的な混ざり具合も入るので、もつれの量として読めるのは純粋状態のときだけである。混合状態では $I(A;B)$ を使う。これは 5.1.2 節と 5.1.6 節で扱う。

乱数で選んだ状態は体積則に従う

面積則が「強い主張」であることは、乱数で選んだ状態と比べると分かる。第2部第3章（第2部第3章）では、$d_Ad_B$ 次元の Hilbert 空間から一様（Haar 測度）に選んだ純粋状態について、$d_A\le d_B$ のとき部分系のエントロピーの平均が

$$\overline{S(\hat\rho_A)}=\sum_{k=d_B+1}^{d_Ad_B}\frac1k-\frac{d_A-1}{2d_B}\approx\ln d_A-\frac{d_A}{2d_B}\tag{5.1.4}$$

になることを見た（D. N. Page による¹1D. N. Page (1993), Physical Review Letters 71, 1291–1294。下の脚注へ閉じる）。$d_A=d^{\lvert A\rvert }$ を代入すると $\overline{S}\approx\lvert A\rvert \ln d$ で、上限の体積の値にほぼ等しい。つまり「ほとんどすべての状態」は体積則に従う。基底状態が面積則に従うなら、基底状態は Hilbert 空間の中で非常に特別な、ごく一部の状態だということになる。第2部第3章はこの式を「部分系はほとんど熱的に見える」（典型性）の根拠に使った。ここでは同じ式を、基底状態が典型的な状態からどれだけ離れているかを測る基準に使う。

1　D. N. Page (1993), Physical Review Letters 71, 1291–1294。