相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第5部 第1章 §5.1.2 ★★★ 熱状態と積状態の自由エネルギーの差が相対エントロピーで、それが負にならないことから、相互情報量が境界の結合の強さだけで押さえられる
局所的な Hamiltonian
格子の上の Hamiltonian H ^ \hat H H ^ A A A B B B A A A B B B
H ^ = H ^ A ⊗ 1 B + 1 A ⊗ H ^ B + H ^ ∂ (5.1.5) \hat H=\hat H_A\otimes\mathbf 1_B+\mathbf 1_A\otimes\hat H_B+\hat H_\partial\tag{5.1.5} H ^ = H ^ A ⊗ 1 B + 1 A ⊗ H ^ B + H ^ ∂ ( 5.1.5 )
と書ける。H ^ ∂ \hat H_\partial H ^ ∂ h max h_{\max} h m a x ∥ H ^ ∂ ∥ ≤ h max ∣ ∂ A ∣ \lVert \hat H_\partial\rVert \le h_{\max}\lvert \partial A\rvert ∥ H ^ ∂ ∥ ≤ h m a x ∣ ∂ A ∣ T T T ρ ^ β = e − β H ^ / Z \hat\rho_\beta=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z ρ ^ β = e − β H ^ / Z β = 1 / ( k B T ) \beta=1/(k_{\mathrm B}T) β = 1/ ( k B T )
相互情報量の面積則
第3部第2章で示した量子の Gibbs の変分原理は、任意の状態 σ ^ \hat\sigma σ ^ F ( σ ^ ) = Tr σ ^ H ^ − k B T S ( σ ^ ) F(\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\sigma\hat H-k_{\mathrm B}T\,S(\hat\sigma) F ( σ ^ ) = Tr σ ^ H ^ − k B T S ( σ ^ ) F e q = − k B T ln Z F_{\mathrm{eq}}=-k_{\mathrm B}T\ln Z F eq = − k B T ln Z
F ( σ ^ ) − F e q = k B T D ( σ ^ ∥ ρ ^ β ) ≥ 0 (5.1.6) F(\hat\sigma)-F_{\mathrm{eq}}=k_{\mathrm B}T\,D(\hat\sigma\,\|\,\hat\rho_\beta)\ge0\tag{5.1.6} F ( σ ^ ) − F eq = k B T D ( σ ^ ∥ ρ ^ β ) ≥ 0 ( 5.1.6 )
になる、というものだった（古典の形は第2部第2章、第2部第2章 ）。ここで σ ^ \hat\sigma σ ^ ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β ρ ^ A ⊗ ρ ^ B \hat\rho_A\otimes\hat\rho_B ρ ^ A ⊗ ρ ^ B
定理 5.1.2（熱状態の相互情報量の面積則 ★★★）
Hamiltonian が式 (5.1.5) の形のとき、熱状態 ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ρ ^ B \hat\rho_B ρ ^ B
I ( A ; B ) + D ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∥ ρ ^ β ) = β Tr [ ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] (5.1.7) I(A;B)+D(\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B\,\|\,\hat\rho_\beta)=\beta\,\operatorname{Tr}\!\bigl[(\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B-\hat\rho_\beta)\hat H_\partial\bigr]\tag{5.1.7} I ( A ; B ) + D ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∥ ρ ^ β ) = β Tr [ ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] ( 5.1.7 )
が成り立つ。したがって
I ( A ; B ) ≤ β Tr [ ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] ≤ 2 ∥ H ^ ∂ ∥ k B T ≤ 2 h max k B T ∣ ∂ A ∣ . (5.1.8) I(A;B)\le\beta\,\operatorname{Tr}\!\bigl[(\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B-\hat\rho_\beta)\hat H_\partial\bigr]\le\frac{2\lVert \hat H_\partial\rVert }{k_{\mathrm B}T}\le\frac{2h_{\max}}{k_{\mathrm B}T}\lvert \partial A\rvert .\tag{5.1.8} I ( A ; B ) ≤ β Tr [ ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] ≤ k B T 2 ∥ H ^ ∂ ∥ ≤ k B T 2 h m a x ∣ ∂ A ∣ . ( 5.1.8 )
証明 σ ^ = ρ ^ A ⊗ ρ ^ B \hat\sigma=\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B σ ^ = ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β H ^ A ⊗ 1 B \hat H_A\otimes\mathbf 1_B H ^ A ⊗ 1 B A A A σ ^ \hat\sigma σ ^ ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A Tr σ ^ ( H ^ A ⊗ 1 B ) = Tr ρ ^ β ( H ^ A ⊗ 1 B ) \operatorname{Tr}\hat\sigma(\hat H_A\otimes\mathbf 1_B)=\operatorname{Tr}\hat\rho_\beta(\hat H_A\otimes\mathbf 1_B) Tr σ ^ ( H ^ A ⊗ 1 B ) = Tr ρ ^ β ( H ^ A ⊗ 1 B ) H ^ B \hat H_B H ^ B Tr σ ^ H ^ − Tr ρ ^ β H ^ = Tr [ ( σ ^ − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] \operatorname{Tr}\hat\sigma\hat H-\operatorname{Tr}\hat\rho_\beta\hat H=\operatorname{Tr}[(\hat\sigma-\hat\rho_\beta)\hat H_\partial] Tr σ ^ H ^ − Tr ρ ^ β H ^ = Tr [( σ ^ − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] S ( σ ^ ) = S ( ρ ^ A ) + S ( ρ ^ B ) S(\hat\sigma)=S(\hat\rho_A)+S(\hat\rho_B) S ( σ ^ ) = S ( ρ ^ A ) + S ( ρ ^ B ) S ( σ ^ ) − S ( ρ ^ β ) = I ( A ; B ) S(\hat\sigma)-S(\hat\rho_\beta)=I(A;B) S ( σ ^ ) − S ( ρ ^ β ) = I ( A ; B ) F ( ρ ^ β ) = F e q F(\hat\rho_\beta)=F_{\mathrm{eq}} F ( ρ ^ β ) = F eq (5.1.6) に入れると
k B T D ( σ ^ ∥ ρ ^ β ) = F ( σ ^ ) − F ( ρ ^ β ) = Tr [ ( σ ^ − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] − k B T I ( A ; B ) k_{\mathrm B}T\,D(\hat\sigma\,\|\,\hat\rho_\beta)=F(\hat\sigma)-F(\hat\rho_\beta)=\operatorname{Tr}[(\hat\sigma-\hat\rho_\beta)\hat H_\partial]-k_{\mathrm B}T\,I(A;B) k B T D ( σ ^ ∥ ρ ^ β ) = F ( σ ^ ) − F ( ρ ^ β ) = Tr [( σ ^ − ρ ^ β ) H ^ ∂ ] − k B T I ( A ; B )
で、k B T k_{\mathrm B}T k B T (5.1.7) を得る。D ≥ 0 D\ge0 D ≥ 0 (5.1.8) の最初の不等号が出る。2番目は、2つの密度行列 σ ^ \hat\sigma σ ^ ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β ∣ Tr σ ^ H ^ ∂ ∣ ≤ ∥ H ^ ∂ ∥ \lvert \operatorname{Tr}\hat\sigma\hat H_\partial\rvert \le\lVert \hat H_\partial\rVert ∣ Tr σ ^ H ^ ∂ ∣ ≤ ∥ H ^ ∂ ∥
この定理は M. M. Wolf、F. Verstraete、M. B. Hastings、J. I. Cirac による1 1 M. M. Wolf, F. Verstraete, M. B. Hastings, J. I. Cirac (2008), Physical Review Letters 100 , 070502。D ≥ 0 D\ge0 D ≥ 0
フェルミオンの系でも同じ議論が成り立つ。熱状態はフェルミオンの数の偶奇（パリティ）と交換し、H ^ A \hat H_A H ^ A H ^ B \hat H_B H ^ B ρ ^ A ⊗ ρ ^ B \hat\rho_A\otimes\hat\rho_B ρ ^ A ⊗ ρ ^ B 5.1.6 節では自由フェルミオンの鎖でこの上界を数値で確かめる。
相互情報量はすべての相関を押さえる
相互情報量が小さいと、A A A B B B A A A O ^ A \hat O_A O ^ A B B B O ^ B \hat O_B O ^ B C ( O ^ A , O ^ B ) = ⟨ O ^ A ⊗ O ^ B ⟩ − ⟨ O ^ A ⟩ ⟨ O ^ B ⟩ C(\hat O_A,\hat O_B)=\langle \hat O_A\otimes\hat O_B \rangle -\langle \hat O_A \rangle \langle \hat O_B \rangle C ( O ^ A , O ^ B ) = ⟨ O ^ A ⊗ O ^ B ⟩ − ⟨ O ^ A ⟩ ⟨ O ^ B ⟩ Tr [ ( ρ ^ A B − ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) ( O ^ A ⊗ O ^ B ) ] \operatorname{Tr}[(\hat\rho_{AB}-\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B)(\hat O_A\otimes\hat O_B)] Tr [( ρ ^ A B − ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ) ( O ^ A ⊗ O ^ B )] ∥ ⋅ ∥ 1 \lVert \cdot\rVert _1 ∥ ⋅ ∥ 1 ∣ C ∣ ≤ ∥ ρ ^ A B − ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∥ 1 ∥ O ^ A ∥ ∥ O ^ B ∥ \lvert C\rvert \le\lVert \hat\rho_{AB}-\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B\rVert _1\lVert \hat O_A\rVert \lVert \hat O_B\rVert ∣ C ∣ ≤ ∥ ρ ^ A B − ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∥ 1 ∥ O ^ A ∥ ∥ O ^ B ∥ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ≥ 1 2 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 2 D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\ge\frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1^2 D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ≥ 2 1 ∥ ρ ^ − σ ^ ∥ 1 2 第3部第3章 ）を合わせると
I ( A ; B ) ≥ C ( O ^ A , O ^ B ) 2 2 ∥ O ^ A ∥ 2 ∥ O ^ B ∥ 2 (5.1.9) I(A;B)\ge\frac{C(\hat O_A,\hat O_B)^2}{2\lVert \hat O_A\rVert ^2\lVert \hat O_B\rVert ^2}\tag{5.1.9} I ( A ; B ) ≥ 2 ∥ O ^ A ∥ 2 ∥ O ^ B ∥ 2 C ( O ^ A , O ^ B ) 2 ( 5.1.9 )
を得る。相互情報量は、A A A B B B
温度を下げると上界は使えなくなる
式 (5.1.8) の右辺は T → 0 T\to0 T → 0 β → ∞ \beta\to\infty β → ∞ I ( A ; B ) = 2 S ( ρ ^ A ) I(A;B)=2S(\hat\rho_A) I ( A ; B ) = 2 S ( ρ ^ A ) D ≥ 0 D\ge0 D ≥ 0 5.1.3 節の内容である。逆に高温では、ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β ρ ^ A ⊗ ρ ^ B \hat\rho_A\otimes\hat\rho_B ρ ^ A ⊗ ρ ^ B D D D I I I I I I β 2 \beta^2 β 2 2 β ∥ H ^ ∂ ∥ 2\beta\lVert \hat H_\partial\rVert 2 β ∥ H ^ ∂ ∥ β \beta β
例題 5.1.2 2つのスピンの熱状態で恒等式を確かめる ★★
オリジナル 2つのスピン A A A B B B H ^ = − J Z A Z B \hat H=-JZ_AZ_B H ^ = − J Z A Z B J > 0 J>0 J > 0 H ^ A = H ^ B = 0 \hat H_A=\hat H_B=0 H ^ A = H ^ B = 0 H ^ ∂ = H ^ \hat H_\partial=\hat H H ^ ∂ = H ^
熱状態 ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ρ ^ B \hat\rho_B ρ ^ B q = 1 / ( 1 + e 2 β J ) q=1/(1+\mathrm{e}^{2\beta J}) q = 1/ ( 1 + e 2 β J ) I ( A ; B ) = ln 2 − h b ( q ) I(A;B)=\ln2-h_{\mathrm b}(q) I ( A ; B ) = ln 2 − h b ( q )
D ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∥ ρ ^ β ) D(\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B\,\|\,\hat\rho_\beta) D ( ρ ^ A ⊗ ρ ^ B ∥ ρ ^ β ) (5.1.7) の両辺が β J tanh β J \beta J\tanh\beta J β J tanh β J β J = 1 \beta J=1 β J = 1 2 β J 2\beta J 2 β J β J → ∞ \beta J\to\infty β J → ∞ β J → 0 \beta J\to0 β J → 0
解答 (1) H ^ \hat H H ^ Z Z Z ∣ ↑ ↑ ⟩ | \uparrow\uparrow \rangle ∣ ↑↑ ⟩ ∣ ↓ ↓ ⟩ | \downarrow\downarrow \rangle ∣ ↓↓ ⟩ − J -J − J + J +J + J Z = 2 e β J + 2 e − β J Z=2\mathrm{e}^{\beta J}+2\mathrm{e}^{-\beta J} Z = 2 e β J + 2 e − β J 1 − q 2 \frac{1-q}{2} 2 1 − q q 2 \frac q2 2 q q = e − β J / ( e β J + e − β J ) = 1 / ( 1 + e 2 β J ) q=\mathrm{e}^{-\beta J}/(\mathrm{e}^{\beta J}+\mathrm{e}^{-\beta J})=1/(1+\mathrm{e}^{2\beta J}) q = e − β J / ( e β J + e − β J ) = 1/ ( 1 + e 2 β J ) ρ ^ A = ρ ^ B = 1 2 1 \hat\rho_A=\hat\rho_B=\frac12\mathbf 1 ρ ^ A = ρ ^ B = 2 1 1 S ( ρ ^ A ) = S ( ρ ^ B ) = ln 2 S(\hat\rho_A)=S(\hat\rho_B)=\ln2 S ( ρ ^ A ) = S ( ρ ^ B ) = ln 2 ( 1 − q , q ) (1-q,q) ( 1 − q , q ) S ( ρ ^ β ) = h b ( q ) + ln 2 S(\hat\rho_\beta)=h_{\mathrm b}(q)+\ln2 S ( ρ ^ β ) = h b ( q ) + ln 2 I ( A ; B ) = 2 ln 2 − ( ln 2 + h b ( q ) ) = ln 2 − h b ( q ) I(A;B)=2\ln2-(\ln2+h_{\mathrm b}(q))=\ln2-h_{\mathrm b}(q) I ( A ; B ) = 2 ln 2 − ( ln 2 + h b ( q )) = ln 2 − h b ( q )
(2) ρ ^ A ⊗ ρ ^ B = 1 4 1 \hat\rho_A\otimes\hat\rho_B=\frac14\mathbf 1 ρ ^ A ⊗ ρ ^ B = 4 1 1 ρ ^ β \hat\rho_\beta ρ ^ β D D D
D = 2 ⋅ 1 4 ln 1 / 4 ( 1 − q ) / 2 + 2 ⋅ 1 4 ln 1 / 4 q / 2 = − ln 2 − 1 2 ln ( q ( 1 − q ) ) . D=2\cdot\frac14\ln\frac{1/4}{(1-q)/2}+2\cdot\frac14\ln\frac{1/4}{q/2}=-\ln2-\frac12\ln\bigl(q(1-q)\bigr). D = 2 ⋅ 4 1 ln ( 1 − q ) /2 1/4 + 2 ⋅ 4 1 ln q /2 1/4 = − ln 2 − 2 1 ln ( q ( 1 − q ) ) .
左辺は I + D = − h b ( q ) − 1 2 ln ( q ( 1 − q ) ) = ( 1 2 − q ) ln 1 − q q I+D=-h_{\mathrm b}(q)-\frac12\ln(q(1-q))=(\frac12-q)\ln\frac{1-q}{q} I + D = − h b ( q ) − 2 1 ln ( q ( 1 − q )) = ( 2 1 − q ) ln q 1 − q ln 1 − q q = 2 β J \ln\frac{1-q}{q}=2\beta J ln q 1 − q = 2 β J 1 2 − q = 1 2 tanh β J \frac12-q=\frac12\tanh\beta J 2 1 − q = 2 1 tanh β J I + D = β J tanh β J I+D=\beta J\tanh\beta J I + D = β J tanh β J Tr ( 1 4 1 ⋅ Z Z ) = 0 \operatorname{Tr}(\frac14\mathbf 1\cdot ZZ)=0 Tr ( 4 1 1 ⋅ Z Z ) = 0 Tr ( ρ ^ β Z Z ) = ( 1 − q ) − q = tanh β J \operatorname{Tr}(\hat\rho_\beta ZZ)=(1-q)-q=\tanh\beta J Tr ( ρ ^ β Z Z ) = ( 1 − q ) − q = tanh β J β Tr [ ( 1 4 1 − ρ ^ β ) ( − J Z Z ) ] = β J tanh β J \beta\operatorname{Tr}[(\frac14\mathbf 1-\hat\rho_\beta)(-JZZ)]=\beta J\tanh\beta J β Tr [( 4 1 1 − ρ ^ β ) ( − J Z Z )] = β J tanh β J
(3) β J = 1 \beta J=1 β J = 1 q = 0.1192 q=0.1192 q = 0.1192 h b ( q ) = 0.3653 h_{\mathrm b}(q)=0.3653 h b ( q ) = 0.3653
I = 0.3278 , D = 0.4338 , I + D = tanh 1 = 0.7616 ≤ 2 β J = 2. I=0.3278,\qquad D=0.4338,\qquad I+D=\tanh1=0.7616\le2\beta J=2. I = 0.3278 , D = 0.4338 , I + D = tanh 1 = 0.7616 ≤ 2 β J = 2.
β J → ∞ \beta J\to\infty β J → ∞ q → 0 q\to0 q → 0 I → ln 2 I\to\ln2 I → ln 2 2 β J 2\beta J 2 β J T = 0 T=0 T = 0 ∣ ↑ ↑ ⟩ | \uparrow\uparrow \rangle ∣ ↑↑ ⟩ ∣ ↓ ↓ ⟩ | \downarrow\downarrow \rangle ∣ ↓↓ ⟩ ln 2 \ln2 ln 2 β J → 0 \beta J\to0 β J → 0 q ≈ 1 2 − β J 2 q\approx\frac12-\frac{\beta J}2 q ≈ 2 1 − 2 β J h b ( q ) ≈ ln 2 − ( β J ) 2 2 h_{\mathrm b}(q)\approx\ln2-\frac{(\beta J)^2}{2} h b ( q ) ≈ ln 2 − 2 ( β J ) 2 I ≈ ( β J ) 2 2 I\approx\frac{(\beta J)^2}{2} I ≈ 2 ( β J ) 2 0 0 0
1 M. M. Wolf, F. Verstraete, M. B. Hastings, J. I. Cirac (2008), Physical Review Letters 100 , 070502。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
