授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第5部 第1章 §5.1.6　★★ 学部の統計力学の「エントロピーは体積に比例する」は熱状態の部分系のエントロピーの話で、相互情報量は熱状態でも面積則に従う

エントロピーは示量変数である

学部の統計力学では、エントロピーは示量変数で、系を2倍にすると2倍になる、と習う。例えば単原子分子の理想気体の Sackur–Tetrode の式

$$S=Nk_{\mathrm B}\Bigl[\ln\frac{V}{N\lambda_T^3}+\frac52\Bigr],\qquad\lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi mk_{\mathrm B}T}}\tag{5.1.19}$$

は $N$ と $V$ を同じ割合で増やすと $S$ も同じ割合で増える。これと面積則は矛盾しない。式 (5.1.19) は熱状態という混合状態のエントロピーで、この章の言葉では「部分系 $A$ の von Neumann エントロピー $S(\hat\rho_A)$ に $k_{\mathrm B}$ を掛けたもの」である。熱状態の $\hat\rho_A$ はほぼ $A$ だけの熱状態に近く（第2部第3章の典型性）、そのエントロピーは体積に比例する。一方、$A$ と $B$ の間の相関の量 $I(A;B)$ は、定理 5.1.2 により境界の大きさで押さえられる。2つを合わせると、熱状態の部分系のエントロピーは

$$S(\hat\rho_A)=s\lvert A\rvert +\mathcal{O}(\lvert \partial A\rvert )\tag{5.1.20}$$

という形になる（$s$ は1サイトあたりのエントロピー密度を $k_{\mathrm B}$ で割ったもの）。体積の項が熱力学のエントロピー、境界の項に $A$ と $B$ の相関が入る。純粋状態にすると体積の項が消え、境界の項だけが残る。

これを自由フェルミオンの一様な鎖で確かめる。温度 $T$ の熱状態の相関行列は、式 (5.1.14) の占有の階段を Fermi 分布 $f(\varepsilon )=1/(\mathrm{e}^{\beta\varepsilon }+1)$ に替えた$C_{ij}=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\mathrm{d} k}{2\pi}f(\varepsilon (k))\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(i-j)}$ である（化学ポテンシャル $0$、半分の占有）。$k_{\mathrm B}T=0.5\,t$ で式 (5.1.13) から $S(L)$ を計算すると、図 5.1.4 のように $L$ に比例して増え、傾きはエントロピー密度 $s=\int\frac{\mathrm{d} k}{2\pi}h_{\mathrm b}(f(\varepsilon (k)))=0.2973$ に一致した。$S(L)-sL$ は $L$ によらず $0.475$ に落ち着き、これが境界の分である。同じ温度で、64 サイトの環を半分ずつに分けた熱状態の相互情報量は $I(A;B)=0.950$ で、16 サイトの環でも 32 サイトの環でも同じ値だった。境界は結合2本で、1本の項 $-t(\hat c_i^\dagger\hat c_{i+1}+\text{h.c.})$ のノルムは $t$ なので、上界 (5.1.8) は $2\times2t/(0.5\,t)=8$ である。$I$ は上界より1桁小さい。

図 5.1.4　一様な自由フェルミオンの鎖で、長さ $L$ の区間のエントロピー。$T=0$（青）は対数でしか増えないが、$k_{\mathrm B}T=0.5\,t$（赤）は $L$ に比例して増える（体積則）。ただし $A$ と $B$ の相互情報量はこの温度でも $O(1)$ に留まる。値は相関行列の方法による厳密な計算

一重項・Sommerfeld 展開・ブラックホール

学部の量子力学で習う2つのスピン $\frac12$ の一重項 $\frac1{\sqrt2}(| \uparrow\downarrow \rangle -| \downarrow\uparrow \rangle )$ は、片方を取り出すと $\frac12\mathbf 1$ で $S=\ln2$ になる。例題 5.1.1 の鎖のエントロピーは、境界をまたぐ一重項の数にこの $\ln2$ を掛けたものだった。

低温の自由電子の熱容量で習う Sommerfeld 展開も、この章の対数の係数とつながる。低温ではエントロピー密度が $T$ に比例し、$S/V=\frac{\pi^2}{3}k_{\mathrm B}^2T\,D(\varepsilon _{\mathrm F})$ になる（$D(\varepsilon _{\mathrm F})$ は Fermi 準位の状態密度）。1次元の臨界系では、これが共形場理論の $s=\frac{\pi c\,k_{\mathrm B}T}{3\hbar v}$（$v$ は Fermi 速度）と同じ式になり、比熱の係数にも中心電荷 $c$ が現れる（次の例題）。

最後に、面積則という名前は、ブラックホールのエントロピーが地平面の面積に比例する Bekenstein–Hawking の式 $S_{\mathrm{BH}}=\frac{k_{\mathrm B}A_{\mathrm H}}{4\ell_{\mathrm P}^2}$（$A_{\mathrm H}$ は地平面の面積、$\ell_{\mathrm P}$ は Planck 長。定義は第7部第1章の冒頭）を意識したものである。L. Bombelli、R. K. Koul、J. Lee、R. D. Sorkin¹1L. Bombelli, R. K. Koul, J. Lee, R. D. Sorkin (1986), Physical Review D 34, 373–383。下の脚注へ閉じる と Srednicki（1993）は、真空の量子場を球の内と外に分けたときのエンタングルメント・エントロピーが球の表面積に比例することを示し、$S_{\mathrm{BH}}$ の起源の候補とした。格子定数を短くすると係数が発散するので、そのままでは $S_{\mathrm{BH}}$ の値を与えないが、形は同じである。この話は第7部（第7部第1章・第7部第2章）で扱う。