出てくるもの（2）：臨界系の対数の破れ

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第5部 第1章 §5.1.4　★★ gap が閉じると1次元でもエントロピーが $\frac c3\ln L$ で増え、係数の中心電荷 $c$ は模型の細部によらない

一様な鎖では対数で増える

二量体化をなくした $\delta=0$ の一様な鎖は、半分の占有で gap が閉じる（Fermi 準位に状態がある）。無限に長い鎖の基底状態の相関行列は、1粒子のエネルギー $\varepsilon (k)=-2t\cos k$（格子定数を1とする）の負の部分を占めた Fermi の海から計算でき、

$$C_{ij}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\mathrm{d} k}{2\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(i-j)}=\frac{\sin(\pi(i-j)/2)}{\pi(i-j)},\qquad C_{ii}=\frac12\tag{5.1.14}$$

となる。相関は距離の $-1$ 乗でしか減らず、相関の長さは無限大である。式 (5.1.13) で区間の長さ $L$ のエントロピーを計算すると、$L=2,4,\dots,256$ で $0.948$、$1.187$、$1.419$、$1.650$、$1.881$、$2.112$、$2.343$、$2.575$ になり、$L$ を2倍にするたびにほぼ一定の $0.231$ ずつ増える。$0.231/\ln2=0.333$ なので、

$$S(\hat\rho_A)\approx\frac13\ln L+0.726\tag{5.1.15}$$

である（図 5.1.2）。境界は2点のままなのに $S$ は際限なく増えるので、面積則は対数の分だけ破れる。

図 5.1.2　無限に長い自由フェルミオンの鎖（半分の占有）で、長さ $L$ の区間のエンタングルメント・エントロピーを相関行列の方法 (5.1.13) で厳密に計算した値（点と点線）。一様な鎖（$\delta=0$、gap なし）は傾き $\frac13$ の直線（細い実線。漸近形 (5.1.15)）に乗り、二量体化した鎖（gap $4\delta t$）は飽和する。値は verify_ch5-01.py で計算した

中心電荷

係数 $\frac13$ は、この模型だけの偶然ではない。1次元の臨界点の長距離の振る舞いは、多くの場合、スケール変換と共形変換で不変な場の理論（共形場理論）で記述され、その理論は中心電荷 $c$ という1つの数で分類される。無限に長い系の中の長さ $L$ の区間について

$$S(\hat\rho_A)=\frac c3\ln\frac La+\text{定数}\tag{5.1.16}$$

が成り立つ（$a$ は格子定数）。この形は C. Holzhey、F. Larsen、F. Wilczek が示し¹1C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek (1994), Nuclear Physics B 424, 443–467。下の脚注へ閉じる、P. Calabrese と J. Cardy が有限温度・有限の系を含む形に広げた²2P. Calabrese, J. Cardy (2004), Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, P06002。下の脚注へ閉じる。スピン鎖の数値計算でこの形を確かめたのは G. Vidal、J. I. Latorre、E. Rico、A. Kitaev である³3G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, A. Kitaev (2003), Physical Review Letters 90, 227902。下の脚注へ閉じる。自由フェルミオン（スピン鎖では XX 模型）は $c=1$、横磁場 Ising 模型の臨界点は $c=\frac12$ である。区間の端が2つあるので係数は $\frac c3=2\times\frac c6$ で、開いた鎖を端から切る場合は端が1つになり $\frac c6\ln L$ になる。

対数になる理由は次のように説明できる。臨界点では長さの尺度がないので、$a$ から $L$ までの間のどの尺度も同じだけエントロピーに寄与する。長さの尺度を $\ln$ で等間隔に区切ると、区切りの数は $\ln(L/a)$ に比例するので、エントロピーは $\ln L$ で増える。係数 $\frac c3$ は、1つの尺度の区切りあたりに境界をまたいでもつれる自由度の量で、$c$ は臨界点の自由度の数を数えた量と読める。

高い次元では事情が異なる。$n_{\mathrm{dim}}$ 次元の自由フェルミオンで Fermi 面があると、$S\propto L^{n_{\mathrm{dim}}-1}\ln L$ になって面積則が対数の分だけ破れる（M. M. Wolf⁴4M. M. Wolf (2006), Physical Review Letters 96, 010404。下の脚注へ閉じる、D. Gioev と I. Klich⁵5D. Gioev, I. Klich (2006), Physical Review Letters 96, 100503。下の脚注へ閉じる）。一方、gap のない自由なボソン場でも2次元以上では面積則が成り立つ（M. Srednicki が3次元の球の内外で $S\propto R^2$ を数値で示した⁶6M. Srednicki (1993), Physical Review Letters 71, 666–669。下の脚注へ閉じる）。gap がないことは面積則を破る十分条件ではなく、1次元の臨界系と Fermi 面を持つ系が破れる例である。