この章のまとめ

(1) $p(z)\propto\prod_{i=1}^{N-1}\mathrm{e}^{\beta Jz_iz_{i+1}}$ を、$z_1$ と $b_1,\dots,b_{N-1}$ の関数として書き直す。$(z_1,\dots,z_N)$ と $(z_1,b_1,\dots,b_{N-1})$ は1対1に対応し（$z_{i+1}=z_ib_i$）、$p\propto\prod_i\mathrm{e}^{\beta Jb_i}$ は $z_1$ によらず $b_i$ ごとの積になる。したがって $z_1$ は等確率、$b_i$ は互いに独立で$\Pr(b_i=-1)=\mathrm{e}^{-\beta J}/(\mathrm{e}^{\beta J}+\mathrm{e}^{-\beta J})=q$ である。$A$ の配置は $(z_1,b_1,\dots,b_{L-1})$ と1対1なので、そのエントロピーは独立な変数の和で

$$S(\hat\rho_A)=H(z_1)+\sum_{i=1}^{L-1}H(b_i)=\ln2+(L-1)h_{\mathrm b}(q).$$

$L$ に比例して増え、体積則に従う。$\hat\rho_A$ は対角なので、von Neumann エントロピーは配置の分布の Shannon エントロピーに等しい。

(2) $b_i$ が独立なので、$z_L$ を知れば $B$ の配置は $(z_L,b_L,\dots,b_{N-1})$ で決まり、$A$ の残りの情報（$b_1,\dots,b_{L-2}$ など）とは独立である。したがって$A\to z_L\to z_{L+1}\to B$ は Markov 連鎖である。データ処理不等式を2回使うと、$A\to z_L\to B$ から $I(A;B)\le I(z_L;B)$、$z_L\to z_{L+1}\to B$ から $I(z_L;B)\le I(z_L;z_{L+1})$ で、$I(A;B)\le I(z_L;z_{L+1})$。一方、$z_L$ は $A$ の一部、$z_{L+1}$ は $B$ の一部なので $I(A;B)\ge I(z_L;z_{L+1})$ でもある。よって $I(A;B)=I(z_L;z_{L+1})$。$z_L$、$z_{L+1}$ の周辺はどちらも等確率で、組の分布は揃う配置が $\frac{1-q}{2}$ ずつ、逆向きが $\frac q2$ ずつなので、例題 5.1.2 と同じ計算で

$$I(A;B)=2\ln2-\bigl(\ln2+h_{\mathrm b}(q)\bigr)=\ln2-h_{\mathrm b}(q).$$

$L$ にも $N$ にもよらない。境界の結合は1本なので、相互情報量は境界の大きさで決まる。

(3) $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B$ では $z_L$ と $z_{L+1}$ が独立になり、$b_L$ だけが等確率の $\pm1$ に替わる。他の結合の分布は変わらないので、$D$ は $b_L$ の分布だけの比較になり

$$D=\frac12\ln\frac{1/2}{1-q}+\frac12\ln\frac{1/2}{q}=-\ln2-\frac12\ln\bigl(q(1-q)\bigr).$$

例題 5.1.2 と同じく $I+D=(\frac12-q)\ln\frac{1-q}{q}=\beta J\tanh\beta J$ である。右辺は $\hat H_\partial=-JZ_LZ_{L+1}$ で、$\operatorname{Tr}[\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B\,Z_LZ_{L+1}]=0$、$\langle Z_LZ_{L+1} \rangle =1-2q=\tanh\beta J$ から $\beta J\tanh\beta J$ になり、恒等式 (5.1.7) が成り立つ。$\lVert \hat H_\partial\rVert =J$ なので面積則は $I\le2\beta J$。$\beta J=1$ では $q=0.1192$、$h_{\mathrm b}(q)=0.3653$、

$$I=0.3278,\qquad D=0.4338,\qquad I+D=0.7616\le2.$$

(4) $S(\hat\rho_A)=\ln2+99\times0.3653=36.86$ に対し、$I(A;B)=0.3278$ のままである。式 (5.1.20) の体積の項が $s\lvert A\rvert$ で $s=h_{\mathrm b}(q)=0.3653$（1結合あたりの熱力学のエントロピー）、境界の項に相関 $I$ が入る。$\hat\rho_\beta$ は配置 $| z \rangle \langle z |$ の確率混合で、各項は積状態なので分離可能であり、もつれていない（第3部第4章の定義）。$I=0.3278$ はすべて古典的な相関である。面積則は量子のもつれに限らず、局所的な相互作用でできた相関一般の性質である。

(5) $\beta J\to\infty$ で $q\to0$、$h_{\mathrm b}(q)\to0$ なので $I(A;B)\to\ln2$ に留まる。熱状態は2つの基底状態の等確率の混合 $\frac12(| \uparrow\cdots\uparrow \rangle \langle \uparrow\cdots\uparrow |+| \downarrow\cdots\downarrow \rangle \langle \downarrow\cdots\downarrow |)$に近づき、$S(\hat\rho_A)=\ln2$、$S(\hat\rho_{AB})=\ln2$ で $I=\ln2$。上界 $2\beta J$ は発散するので、この極限では何も言わない。一方、純粋状態の GHZ 状態 $\frac1{\sqrt2}(| \uparrow\cdots\uparrow \rangle +| \downarrow\cdots\downarrow \rangle )$ では $S(\hat\rho_{AB})=0$ なので $I=2S(\hat\rho_A)=2\ln2$ である。GHZ 状態は例題 5.1.5 のとおり結合次元 2 の行列積状態で、どの切れ目でも $S=\ln2=\ln\chi$ の面積則に従う。$I$ の差 $\ln2$ は、混合状態では失われている2つの配置の間の量子的な重ね合わせの分で、GHZ 状態ではそれがもつれとして $A$ と $B$ にまたがっている。