比べる2つの状態：外に制限した状態と真空

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第1章 §7.1.1　★★★ Bekenstein の思考実験が一般化第二法則を要求し、それを確かめる道具として「領域に制限した状態と真空の相対エントロピー」が選ばれる

ブラックホールに物を投げ込むと、その物が持っていたエントロピーは外の世界から見えなくなる。外の世界のエントロピーだけを数えれば、第二法則は簡単に破れてしまう。J. D. Bekenstein はこの事態を避けるため、ブラックホール自身が地平面の面積に比例するエントロピーを持ち、それと外のエントロピーの和が減らない、という一般化第二法則を提案した。解析力学から様々な理論分野を組み立てるの第2部第19章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第19章）では、ブラックホール力学の4法則が熱力学の4法則と同じ形をしていることを見た。同じ巻の第5部第12章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）では、地平面の近くの場の量子論からHawking 温度 $T_{\mathrm H}=\hbar\kappa/(2\pi ck_{\mathrm B})$ と Bekenstein–Hawking エントロピー $S_{\mathrm{BH}}=k_{\mathrm B}c^3A/(4G\hbar)$ を導いた。そこで残った問いは2つある。一般化第二法則は本当に成り立つのか、そして $S_{\mathrm{BH}}$ は何を数えているのか、である。

この章では、この2つの問いをこの巻の背骨である相対エントロピーで読む。比べる2つの状態は、ある領域（地平面の外）に制限した場の状態 $\hat\rho_V$ と、同じ領域に制限した真空 $\hat\sigma_V$ である。真空を領域に制限すると、その領域の境界の近くで熱的な状態になり、その「温度」を決める演算子（モジュラー Hamiltonian $\hat K_V=-\ln\hat\sigma_V$）は、境界からの距離で重みを付けたエネルギーになる。当てる性質は2つで、1つ目は非負性 $D(\hat\rho_V\,\|\,\hat\sigma_V)\ge0$、2つ目は単調性（領域を狭めると $D$ が増えない＝データ処理不等式）である。

出てくるものは3つある。1つ目は、非負性を書き直した $\Delta S\le\Delta K$ から出る Bekenstein 上限（大きさ $R$、エネルギー $E$ の物体のエントロピーは$2\pi k_{\mathrm B}ER/(\hbar c)$ を超えない）で、H. Casini（2008）がこの形で厳密に述べ直した。2つ目は、単調性に Einstein 方程式（Raychaudhuri の方程式）を組み合わせて出る一般化第二法則で、A. C. Wall（2012）の証明の骨格をたどる。3つ目は、地平面をまたぐ場のもつれが面積に比例するエントロピーを持つことで、$S_{\mathrm{BH}}$ が何を数えているかについての1つの答え（エンタングルメント・エントロピー）とその限界を、数値で確かめながら述べる。最後に、熱力学の授業で習う Clausius の不等式・熱浴との接触・熱容量の符号の形と、この章の形を並べる。

この章の対数は自然対数で、情報量の単位は nat とする。von Neumann エントロピー $S(\hat\rho)$ は無次元、熱力学のエントロピー（$S_{\mathrm{BH}}$ など）は$k_{\mathrm B}$ 込みで単位は J/K である。作用は出てこないので、$S$ は常にエントロピーを指す。地平面の面積を $A$ と書くので、領域には $A$ を使わず $V$、$V'$ と書く。Planck 長を $\ell_{\mathrm P}=\sqrt{G\hbar/c^3}=1.616\times10^{-35}\,\mathrm{m}$ とすると $S_{\mathrm{BH}}=k_{\mathrm B}A/(4\ell_{\mathrm P}^2)$ である。計量の流儀は $(+,-,-,-)$（この本の流儀）だが、この章では計量の成分を直接使う計算はほとんど出てこない。

Bekenstein の思考実験

Schwarzschild のブラックホール（質量 $M$）に、エントロピー $S_{\text{箱}}$ を持つ箱を落とす状況を考える。箱が地平面を越えると、外の観測者は箱の中身を二度と調べられない。外の世界にある物質のエントロピー $S_{\text{外}}$ だけを数えると $S_{\text{外}}$ は $S_{\text{箱}}$ だけ減り、しかも箱の中身は任意に選べるので、熱力学の第二法則が破れたように見える。

Bekenstein（1973）は、ブラックホールのエントロピーを地平面の面積に比例する量として持たせ、和

$$S_{\mathrm{gen}}\coloneqq S_{\mathrm{BH}}+S_{\text{外}},\qquad S_{\mathrm{BH}}=\frac{k_{\mathrm B}c^3A}{4G\hbar}=\frac{k_{\mathrm B}A}{4\ell_{\mathrm P}^2}\tag{7.1.1}$$

が減らないことを第二法則の正しい姿として提案した¹1J. D. Bekenstein (1973), Phys. Rev. D 7, 2333; J. D. Bekenstein (1974), Phys. Rev. D 9, 3292。比例係数 $1/4$ は Hawking 放射の温度（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）で後から決まった。下の脚注へ閉じる。$S_{\mathrm{gen}}$ を一般化エントロピーと呼ぶ。古典の一般相対論には面積定理（Hawking 1971）があり、正のエネルギーの物が落ちる限り $A$ は減らない（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第19章）。しかし面積が増えたことと、その増え方が $S_{\text{箱}}$ を埋め合わせるのに足りることは別の主張である。

足りるかどうかを調べるために、ブラックホールが受け取るエネルギーをできるだけ小さくする落とし方を考える。第一法則$c^2\delta M=\frac{\kappa c^2}{8\pi G}\delta A$（回転していない場合）によれば、面積の増え方は、遠方で測ったエネルギー $c^2\delta M$ に比例する。箱を遠方から自由に落とすと、箱の静止エネルギー $E$ がそのまま $c^2\delta M=E$ になる。ところが、箱を綱でゆっくり地平面の近くまで下ろしてから放すと、重力赤方偏移のために遠方で測ったエネルギーが小さくなる。地平面の近くの時空は加速度 $\kappa$ の Rindler 時空で書け（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第17章）、地平面から固有の距離 $\varrho$ の所の赤方偏移の因子は $\sqrt{g_{00}}\approx\kappa\varrho/c^2$ である。箱の大きさを $R$ とすると、箱の重心は地平面から少なくとも $R$ の所にしか下ろせないので、ブラックホールが受け取るエネルギーは最小で$c^2\delta M=E\,\kappa R/c^2$ になる。第一法則に入れると

$$\delta A=\frac{8\pi G}{\kappa c^2}\cdot\frac{E\kappa R}{c^2}=\frac{8\pi GER}{c^4},\qquad \Delta S_{\mathrm{BH}}=\frac{k_{\mathrm B}\,\delta A}{4\ell_{\mathrm P}^2}=\frac{2\pi k_{\mathrm B}ER}{\hbar c}\tag{7.1.2}$$

を得る。表面重力 $\kappa$ が打ち消し合うので、この最小の増え方はブラックホールの質量によらず、箱の $E$ と $R$ だけで決まる。一般化第二法則が成り立つためには $S_{\text{箱}}\le\Delta S_{\mathrm{BH}}$ でなければならず、

$$S_{\text{箱}}\le\frac{2\pi k_{\mathrm B}ER}{\hbar c}\tag{7.1.3}$$

が要る。これが Bekenstein 上限である²2J. D. Bekenstein (1981), Phys. Rev. D 23, 287.下の脚注へ閉じる。重力定数 $G$ が式から消えていることに注意する。上限はブラックホールを使って導いたが、結果は重力のない平坦な時空の物体についての主張になっている。

外に制限した状態と真空

思考実験は、箱という古典的な物を相手にしている。場の量子論で同じことを考えるには、「外の世界のエントロピー」を正確に定義しなければならない。時刻一定の面を地平面で2つに分け、外側を $V$、内側を $\bar V$ とする。全体の状態 $\hat\rho$ を $V$ に制限した（$\bar V$ について部分トレースを取った）ものを$\hat\rho_V=\operatorname{Tr}_{\bar V}\hat\rho$ と書く。外のエントロピーは $S(\hat\rho_V)$ であるが、ここに困難がある。真空のような純粋状態でさえ、$V$ と $\bar V$ は境界の近くで強くもつれているので、$S(\hat\rho_V)$ は境界の面積に比例して発散する（第5部第1章の面積則の連続版。7.1.5 節で数値で確かめる）。発散するのは境界のすぐ近くの短い波長のもつれで、箱の中身とは関係がない。

そこで、真空 $| 0 \rangle$ を同じ領域に制限した $\hat\sigma_V=\operatorname{Tr}_{\bar V}| 0 \rangle \langle 0 |$ を基準に取り、差を見る。比べる2つの状態は

$$\hat\rho_V\ (\text{今の状態を }V\text{ に制限したもの})\qquad\text{と}\qquad\hat\sigma_V\ (\text{真空を }V\text{ に制限したもの})\tag{7.1.4}$$

である。$\hat\sigma_V$ は全体の純粋状態の一部なので、それ自身は混合状態である。正定値なので、ある自己共役演算子 $\hat K_V$ を使って

$$\hat\sigma_V=\frac{\mathrm{e}^{-\hat K_V}}{\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\hat K_V}}\tag{7.1.5}$$

と書ける。$\hat K_V$ を領域 $V$ のモジュラー Hamiltonian と呼ぶ（定数の分の任意性は差を取るので消える）。式 (7.1.5) は、$\hat\sigma_V$ が「Hamiltonian $\hat K_V$、温度 1」の Gibbs 状態であることを言っている。$\hat K_V$ は一般にはどの物理量とも結びつかない複雑な演算子だが、平坦な時空の Rindler の楔（$x>0$ の半空間）についてはJ. J. Bisognano と E. H. Wichmann（1976）が具体的な形を求めた³3J. J. Bisognano, E. H. Wichmann (1976), J. Math. Phys. 17, 303.下の脚注へ閉じる：

$$\hat K_V=\frac{2\pi}{\hbar c}\int_{x>0}x\,\hat T_{00}(\bm{x})\,\mathrm{d}^3x+\text{定数}.\tag{7.1.6}$$

$\hat T_{00}$ はエネルギー密度の演算子である。式 (7.1.6) は、場所 $x$ ごとに逆温度 $\beta(x)=2\pi x/(\hbar c)$ を掛けたエネルギーの和になっている。$k_{\mathrm B}T(x)=\hbar c/(2\pi x)$ は、加速度 $a=c^2/x$ で止まっている観測者の Unruh 温度 $\hbar a/(2\pi c)$ そのものである（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章で、Minkowski 真空が Rindler の楔の熱状態に見えることを Bogoliubov 変換で示した）。境界（地平面）に近づくほど温度が高く、境界で発散する。$S(\hat\sigma_V)$ が発散する理由もここにある。

外のエントロピーと外のエネルギーを、真空からの差で定義し直す：

$$\Delta S\coloneqq S(\hat\rho_V)-S(\hat\sigma_V),\qquad \Delta K\coloneqq\operatorname{Tr}(\hat\rho_V\hat K_V)-\operatorname{Tr}(\hat\sigma_V\hat K_V).\tag{7.1.7}$$

どちらも境界の近くの発散が打ち消し合い、有限になる（場の状態が境界の近くで真空と同じ形をしている限り）。$\Delta S$ は「箱を置いたことで増えた外のエントロピー」の正確な定義で、Bekenstein の $S_{\text{箱}}$ の量子版にあたる。$\Delta K$ は、境界からの距離で重みを付けたエネルギーである。

1　J. D. Bekenstein (1973), Phys. Rev. D 7, 2333; J. D. Bekenstein (1974), Phys. Rev. D 9, 3292。比例係数 $1/4$ は Hawking 放射の温度（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）で後から決まった。

2　J. D. Bekenstein (1981), Phys. Rev. D 23, 287.

3　J. J. Bisognano, E. H. Wichmann (1976), J. Math. Phys. 17, 303.