相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部 第1章 §7.1.2 ★★★ D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) = Δ K − Δ S D(\hat\rho_V\,\|\,\hat\sigma_V)=\Delta K-\Delta S D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) = Δ K − Δ S
恒等式 D = Δ K − Δ S D=\Delta K-\Delta S D = Δ K − Δ S
量子相対エントロピーの定義 D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = Tr ρ ^ ( ln ρ ^ − ln σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = Tr ρ ^ ( ln ρ ^ − ln σ ^ ) 第3部第2章 ）にln σ ^ V = − K ^ V − ln Tr e − K ^ V \ln\hat\sigma_V=-\hat K_V-\ln\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\hat K_V} ln σ ^ V = − K ^ V − ln Tr e − K ^ V
D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) = − S ( ρ ^ V ) + Tr ( ρ ^ V K ^ V ) + ln Tr e − K ^ V . D(\hat\rho_V\,\|\,\hat\sigma_V)=-S(\hat\rho_V)+\operatorname{Tr}(\hat\rho_V\hat K_V)+\ln\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\hat K_V}. D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) = − S ( ρ ^ V ) + Tr ( ρ ^ V K ^ V ) + ln Tr e − K ^ V .
同じ式で ρ ^ V = σ ^ V \hat\rho_V=\hat\sigma_V ρ ^ V = σ ^ V ln Tr e − K ^ V = S ( σ ^ V ) − Tr ( σ ^ V K ^ V ) \ln\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\hat K_V}=S(\hat\sigma_V)-\operatorname{Tr}(\hat\sigma_V\hat K_V) ln Tr e − K ^ V = S ( σ ^ V ) − Tr ( σ ^ V K ^ V )
D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) = Δ K − Δ S (7.1.8) D(\hat\rho_V\,\|\,\hat\sigma_V)=\Delta K-\Delta S\tag{7.1.8} D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) = Δ K − Δ S ( 7.1.8 )
を得る。これは第2部第2章と第3部第2章の Gibbs の変分原理 k B T D ( ρ ^ ∥ ρ ^ β ) = F ( ρ ^ ) − F e q k_{\mathrm B}T\,D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)=F(\hat\rho)-F_{\mathrm{eq}} k B T D ( ρ ^ ∥ ρ ^ β ) = F ( ρ ^ ) − F eq K ^ V \hat K_V K ^ V 第2部第2章 ）。Δ K − Δ S \Delta K-\Delta S Δ K − Δ S
左辺の D D D ρ ^ V \hat\rho_V ρ ^ V σ ^ V \hat\sigma_V σ ^ V (7.1.8) は、発散する量の引き算でなく、有限な量 D D D
非負性と第一法則
Klein の不等式 D ≥ 0 D\ge0 D ≥ 0 第3部第2章 ）から、ただちに
Δ S ≤ Δ K (7.1.9) \Delta S\le\Delta K\tag{7.1.9} Δ S ≤ Δ K ( 7.1.9 )
が出る。等号は ρ ^ V = σ ^ V \hat\rho_V=\hat\sigma_V ρ ^ V = σ ^ V 7.1.3 節でこれが Bekenstein 上限であることを確かめる。
状態を真空から少しだけずらした ρ ^ V = σ ^ V + ϵ X ^ \hat\rho_V=\hat\sigma_V+\epsilon\,\hat X ρ ^ V = σ ^ V + ϵ X ^ Tr X ^ = 0 \operatorname{Tr}\hat X=0 Tr X ^ = 0 D D D ϵ \epsilon ϵ D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) ρ ^ = σ ^ \hat\rho=\hat\sigma ρ ^ = σ ^
δ S = δ K + O ( ϵ 2 ) (7.1.10) \delta S=\delta K+\mathcal{O}(\epsilon^2)\tag{7.1.10} δ S = δ K + O ( ϵ 2 ) ( 7.1.10 )
が成り立つ。これをエンタングルメントの第一法則 と呼ぶ。熱力学の d S = d U / T \mathrm{d} S=\mathrm{d} U/T d S = d U / T (7.1.9) は「2次の項は必ず Δ S \Delta S Δ S
単調性：領域を狭めると D は増えない
領域 V ′ ⊂ V V'\subset V V ′ ⊂ V V ′ V' V ′ V ∖ V ′ V\setminus V' V ∖ V ′ 第3部第3章 ）から
D ( ρ ^ V ′ ∥ σ ^ V ′ ) ≤ D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) ( V ′ ⊂ V ) (7.1.11) D(\hat\rho_{V'}\,\|\,\hat\sigma_{V'})\le D(\hat\rho_V\,\|\,\hat\sigma_V)\qquad(V'\subset V)\tag{7.1.11} D ( ρ ^ V ′ ∥ σ ^ V ′ ) ≤ D ( ρ ^ V ∥ σ ^ V ) ( V ′ ⊂ V ) ( 7.1.11 )
が成り立つ。見る範囲を狭めると、今の状態と真空を見分ける力は落ちる、という意味である。古典の場合（第1部第4章 ）と同じく、これは第二法則の情報の側からの姿で、第2部第4章（第2部第4章 ）では粗視化について同じ形の不等式を使った。
地平面の場合、時間の向きはこの「領域が狭まる」向きと一致する。地平面の外の領域を、地平面の上の切り口（時刻の目安）ごとに考えると、後の切り口から先の外の領域は、前の切り口から先の外の領域の因果的な未来に含まれ、そこから決まる情報は前の領域から決まる情報の一部にすぎない。したがって、切り口を未来へ動かすことは、領域を狭めることにあたる（7.1.4 節の図 7.1.2 ）。
例題 7.1.2 2準位の「真空」で恒等式を確かめる ★★
オリジナル 基準の状態を σ ^ = d i a g ( 3 / 4 , 1 / 4 ) \hat\sigma=\mathrm{diag}(3/4,1/4) σ ^ = diag ( 3/4 , 1/4 ) K ^ = − ln σ ^ \hat K=-\ln\hat\sigma K ^ = − ln σ ^ ρ ^ = ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ \hat\rho=| + \rangle \langle + | ρ ^ = ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ ∣ + ⟩ = ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 | + \rangle =(| 0 \rangle +| 1 \rangle )/\sqrt2 ∣ + ⟩ = ( ∣0 ⟩ + ∣1 ⟩) / 2
Δ K = Tr ( ρ ^ K ^ ) − Tr ( σ ^ K ^ ) \Delta K=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat K)-\operatorname{Tr}(\hat\sigma\hat K) Δ K = Tr ( ρ ^ K ^ ) − Tr ( σ ^ K ^ ) Δ S = S ( ρ ^ ) − S ( σ ^ ) \Delta S=S(\hat\rho)-S(\hat\sigma) Δ S = S ( ρ ^ ) − S ( σ ^ ) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) (7.1.8) を確かめよ。Δ S < 0 \Delta S<0 Δ S < 0 D > 0 D>0 D > 0 (7.1.9) の言葉で述べよ。
解答
K ^ = d i a g ( ln 4 3 , ln 4 ) \hat K=\mathrm{diag}(\ln\frac43,\ln4) K ^ = diag ( ln 3 4 , ln 4 ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ ( 1 2 , 1 2 ) (\frac12,\frac12) ( 2 1 , 2 1 ) Tr ρ ^ K ^ = 1 2 ( ln 4 3 + ln 4 ) \operatorname{Tr}\hat\rho\hat K=\frac12(\ln\frac43+\ln4) Tr ρ ^ K ^ = 2 1 ( ln 3 4 + ln 4 ) Tr σ ^ K ^ = 3 4 ln 4 3 + 1 4 ln 4 \operatorname{Tr}\hat\sigma\hat K=\frac34\ln\frac43+\frac14\ln4 Tr σ ^ K ^ = 4 3 ln 3 4 + 4 1 ln 4 Δ K = − 1 4 ln 4 3 + 1 4 ln 4 = 1 4 ln 3 = 0.2747 \Delta K=-\frac14\ln\frac43+\frac14\ln4=\frac14\ln3=0.2747 Δ K = − 4 1 ln 3 4 + 4 1 ln 4 = 4 1 ln 3 = 0.2747 ρ ^ \hat\rho ρ ^ S ( ρ ^ ) = 0 S(\hat\rho)=0 S ( ρ ^ ) = 0 S ( σ ^ ) = h b ( 1 4 ) = 0.5623 S(\hat\sigma)=h_{\mathrm b}(\frac14)=0.5623 S ( σ ^ ) = h b ( 4 1 ) = 0.5623 Δ S = − 0.5623 \Delta S=-0.5623 Δ S = − 0.5623
D = Tr ρ ^ ln ρ ^ − Tr ρ ^ ln σ ^ = 0 + Tr ρ ^ K ^ = 1 2 ( ln 4 3 + ln 4 ) = 1 2 ln 16 3 = 0.8370 D=\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=0+\operatorname{Tr}\hat\rho\hat K=\frac12(\ln\frac43+\ln4)=\frac12\ln\frac{16}{3}=0.8370 D = Tr ρ ^ ln ρ ^ − Tr ρ ^ ln σ ^ = 0 + Tr ρ ^ K ^ = 2 1 ( ln 3 4 + ln 4 ) = 2 1 ln 3 16 = 0.8370 Δ K − Δ S = 0.2747 + 0.5623 = 0.8370 \Delta K-\Delta S=0.2747+0.5623=0.8370 Δ K − Δ S = 0.2747 + 0.5623 = 0.8370 β E = ln 3 \beta E=\ln3 β E = ln 3
ρ ^ \hat\rho ρ ^ σ ^ \hat\sigma σ ^ Δ S < 0 \Delta S<0 Δ S < 0 K ^ \hat K K ^ Δ K > 0 \Delta K>0 Δ K > 0 (7.1.9) は Δ S ≤ Δ K \Delta S\le\Delta K Δ S ≤ Δ K Δ S \Delta S Δ S Δ K − Δ S \Delta K-\Delta S Δ K − Δ S D D D
例題 7.1.3 もつれた2量子ビットを片側に制限する ★★
オリジナル 2つの量子ビット V = V ′ ∪ V ′ ′ V=V'\cup V'' V = V ′ ∪ V ′′ σ ^ V = σ ^ ⊗ σ ^ \hat\sigma_V=\hat\sigma\otimes\hat\sigma σ ^ V = σ ^ ⊗ σ ^ σ ^ = d i a g ( 3 / 4 , 1 / 4 ) \hat\sigma=\mathrm{diag}(3/4,1/4) σ ^ = diag ( 3/4 , 1/4 ) ∣ Φ + ⟩ = ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ ) / 2 | \Phi^+ \rangle =(| 00 \rangle +| 11 \rangle )/\sqrt2 ∣ Φ + ⟩ = ( ∣00 ⟩ + ∣11 ⟩) / 2
D ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ ∥ σ ^ ⊗ σ ^ ) D(| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |\,\|\,\hat\sigma\otimes\hat\sigma) D ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ ∥ σ ^ ⊗ σ ^ ) V ′ V' V ′ D ( ρ ^ V ′ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho_{V'}\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ V ′ ∥ σ ^ ) (7.1.11) を確かめよ。V V V V ′ V' V ′ Δ K \Delta K Δ K Δ S \Delta S Δ S Δ S \Delta S Δ S
解答
純粋状態なので D = Tr ρ ^ K ^ V D=\operatorname{Tr}\hat\rho\hat K_V D = Tr ρ ^ K ^ V K ^ V = K ^ ⊗ 1 + 1 ⊗ K ^ \hat K_V=\hat K\otimes\mathbf1+\mathbf1\otimes\hat K K ^ V = K ^ ⊗ 1 + 1 ⊗ K ^ ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ ∣ 00 ⟩ | 00 \rangle ∣00 ⟩ ∣ 11 ⟩ | 11 \rangle ∣11 ⟩ Tr ρ ^ K ^ V = 1 2 ( 2 ln 4 3 ) + 1 2 ( 2 ln 4 ) = ln 16 3 = 1.674 \operatorname{Tr}\hat\rho\hat K_V=\frac12(2\ln\frac43)+\frac12(2\ln4)=\ln\frac{16}{3}=1.674 Tr ρ ^ K ^ V = 2 1 ( 2 ln 3 4 ) + 2 1 ( 2 ln 4 ) = ln 3 16 = 1.674
ρ ^ V ′ = 1 / 2 \hat\rho_{V'}=\mathbf1/2 ρ ^ V ′ = 1 /2 D ( 1 / 2 ∥ σ ^ ) = − ln 2 − 1 2 ( ln 3 4 + ln 1 4 ) = 1 2 ln 4 3 = 0.1438 D(\mathbf1/2\,\|\,\hat\sigma)=-\ln2-\frac12(\ln\frac34+\ln\frac14)=\frac12\ln\frac43=0.1438 D ( 1 /2 ∥ σ ^ ) = − ln 2 − 2 1 ( ln 4 3 + ln 4 1 ) = 2 1 ln 3 4 = 0.1438 0.1438 ≤ 1.674 0.1438\le1.674 0.1438 ≤ 1.674 1.53 1.53 1.53
V V V Δ K = ln 16 3 − ( 2 ⋅ 3 4 ln 4 3 + 2 ⋅ 1 4 ln 4 ) = 1 2 ln 3 = 0.5493 \Delta K=\ln\frac{16}3-(2\cdot\frac34\ln\frac43+2\cdot\frac14\ln4)=\frac12\ln3=0.5493 Δ K = ln 3 16 − ( 2 ⋅ 4 3 ln 3 4 + 2 ⋅ 4 1 ln 4 ) = 2 1 ln 3 = 0.5493 Δ S = 0 − 2 h b ( 1 4 ) = − 1.1247 \Delta S=0-2h_{\mathrm b}(\frac14)=-1.1247 Δ S = 0 − 2 h b ( 4 1 ) = − 1.1247 V ′ V' V ′ Δ K = 1 4 ln 3 = 0.2747 \Delta K=\frac14\ln3=0.2747 Δ K = 4 1 ln 3 = 0.2747 Δ S = ln 2 − h b ( 1 4 ) = + 0.1308 \Delta S=\ln2-h_{\mathrm b}(\frac14)=+0.1308 Δ S = ln 2 − h b ( 4 1 ) = + 0.1308 Δ K − Δ S \Delta K-\Delta S Δ K − Δ S D D D 0.5493 + 1.1247 = 1.674 0.5493+1.1247=1.674 0.5493 + 1.1247 = 1.674 0.2747 − 0.1308 = 0.1438 0.2747-0.1308=0.1438 0.2747 − 0.1308 = 0.1438
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
