出てくるもの (2)：一般化第二法則は相対エントロピーの単調性

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第1章 §7.1.4　★★★ 地平面の外の領域が時間とともに狭まることと、データ処理不等式と Raychaudhuri の方程式を組み合わせると、$S_{\mathrm{gen}}$ が減らないことが出る

地平面の切り口とモジュラー Hamiltonian

地平面は光的な面で、光の世界線（生成線）を束ねたものである。生成線に沿ったアフィン径数を $\lambda$（長さの次元）、生成線を区別する横の座標を $\bm{y}$（2次元）とする。地平面を $\lambda=\lambda_0$ で切った切り口を考え、そこから先の地平面の部分を $H(\lambda_0)$ と書く（図 7.1.2）。地平面の外の状態のうち、地平面を通って入ってくるものと外へ逃げるものを、$H(\lambda_0)$ と無限遠で見張れば、切り口 $\lambda_0$ より後の外の世界の情報がそろう。後の切り口 $\lambda_1>\lambda_0$ の $H(\lambda_1)$ は $H(\lambda_0)$ の一部なので、単調性 (7.1.11) から

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \lambda_0}D\bigl(\hat\rho_{H(\lambda_0)}\,\|\,\hat\sigma_{H(\lambda_0)}\bigr)\le0.\tag{7.1.15}$$

基準の状態 $\hat\sigma$ には、ブラックホールの地平面の上で Rindler の真空と同じ形をしている状態（Hartle–Hawking 状態や Unruh 状態）を取る。そのとき $H(\lambda_0)$ のモジュラー Hamiltonian は、Bisognano–Wichmann の形 (7.1.6) を光的な面へ移したもの

$$\hat K(\lambda_0)=\frac{2\pi}{\hbar c}\int\mathrm{d}^2y\int_{\lambda_0}^{\infty}(\lambda-\lambda_0)\,\hat T_{\lambda\lambda}\,\mathrm{d}\lambda+\text{定数}\tag{7.1.16}$$

になる。$T_{\lambda\lambda}=T_{\mu\nu}k^\mu k^\nu$（$k^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\lambda$）は生成線に沿って流れ込むエネルギーの密度である。式 (7.1.6) の $x$（楔の端からの距離）が、光的な面では切り口からのアフィン距離 $\lambda-\lambda_0$ に替わっている。Wall の証明は、この形が成り立つことを地平面の上の可観測量についてのいくつかの公理から導き、それを自由場と1+1次元の共形場理論で確かめた¹1A. C. Wall (2012), Phys. Rev. D 85, 104049。地平面の上の可観測量の代数が満たすべき公理（決定性・超局所性・局所 Lorentz 不変性・安定性）を仮定し、自由場と1+1次元の共形場理論で公理を確かめている。下の脚注へ閉じる。

Raychaudhuri の方程式で面積へ

もう1つの材料は、地平面の面積の変化と流れ込むエネルギーを結ぶ式である。生成線の束の面積要素の伸び率を $\theta_{\mathrm{exp}}$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第19章の膨張率）とすると、Raychaudhuri の方程式と Einstein 方程式から

$$\frac{\mathrm{d} \theta_{\mathrm{exp}}}{\mathrm{d} \lambda}=-\frac{8\pi G}{c^4}T_{\lambda\lambda}-\frac12\theta_{\mathrm{exp}}^2-(\text{ずれの2乗})$$

が成り立つ。ブラックホールが定常に近く、流れ込むものが小さな摂動なら、右辺の2乗の項は摂動の2次なので落とせる。地平面は遠い未来で定常に落ち着く（$\theta_{\mathrm{exp}}\to0$）ので、それを境界条件にして積分すると

$$\theta_{\mathrm{exp}}(\lambda_0)=\frac{8\pi G}{c^4}\int_{\lambda_0}^{\infty}T_{\lambda\lambda}\,\mathrm{d}\lambda\tag{7.1.17}$$

を得る。面積の変化は $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \lambda_0}=\int\mathrm{d}^2y\,\theta_{\mathrm{exp}}$ である。一方、式 (7.1.16) を $\lambda_0$ で微分すると、被積分関数の $(\lambda-\lambda_0)$ が微分されて

$$\frac{\mathrm{d} \Delta K}{\mathrm{d} \lambda_0}=-\frac{2\pi}{\hbar c}\int\mathrm{d}^2y\int_{\lambda_0}^\infty\Delta\langle \hat T_{\lambda\lambda} \rangle \,\mathrm{d}\lambda=-\frac{c^3}{4G\hbar}\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \lambda_0}\tag{7.1.18}$$

になる（第2の等号で、半古典の Einstein 方程式に従って式 (7.1.17) の $T_{\lambda\lambda}$ を期待値の真空からの差に置き換えた）。つまり $\Delta K$ の減り方は、そのまま $S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}=c^3A/(4G\hbar)$ の増え方である。

一般化第二法則

式 (7.1.8) と (7.1.18) を単調性 (7.1.15) に入れる：

$$0\ge\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{d} \lambda_0}=\frac{\mathrm{d} \Delta K}{\mathrm{d} \lambda_0}-\frac{\mathrm{d} \Delta S}{\mathrm{d} \lambda_0}=-\frac{c^3}{4G\hbar}\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \lambda_0}-\frac{\mathrm{d} \Delta S}{\mathrm{d} \lambda_0}.$$

基準の状態 $\hat\sigma$ は地平面に沿った並進（地平面の上のブースト）で不変なので、$S(\hat\sigma_{H(\lambda_0)})$ は切り口によらない（発散するが、切り口を動かしても変わらない）。したがって $\frac{\mathrm{d} \Delta S}{\mathrm{d} \lambda_0}=\frac{\mathrm{d} S(\hat\rho_{H(\lambda_0)})}{\mathrm{d} \lambda_0}$ で、両辺に $-k_{\mathrm B}$ を掛ければ

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \lambda_0}\Bigl[\frac{k_{\mathrm B}c^3A(\lambda_0)}{4G\hbar}+k_{\mathrm B}S\bigl(\hat\rho_{H(\lambda_0)}\bigr)\Bigr]=\frac{\mathrm{d} S_{\mathrm{gen}}}{\mathrm{d} \lambda_0}\ge0\tag{7.1.19}$$

を得る。これが一般化第二法則である。証明に使った性質は、相対エントロピーの単調性（データ処理不等式）と、真空を地平面に制限した状態が「温度 $\hbar\kappa/(2\pi ck_{\mathrm B})$ の熱状態」であること（モジュラー Hamiltonian の形）と、半古典の Einstein 方程式の3つだけである。

蒸発で確かめる

蒸発するブラックホールで、一般化第二法則が実際に成り立っていることを確かめる。ブラックホールがエネルギー $\mathrm{d} E$ を放射すると、第一法則から$\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}=-\mathrm{d} E/T_{\mathrm H}$ である。放射を温度 $T_{\mathrm H}$ の黒体放射が空の空間へ流れ出るものとみなすと、3+1 次元の黒体放射の流れはエネルギーの流れ $\sigma_{\mathrm{SB}}T^4$ に対してエントロピーの流れ $\frac43\sigma_{\mathrm{SB}}T^3$ を運ぶので、$\mathrm{d} S_{\mathrm{rad}}=\frac43\,\mathrm{d} E/T_{\mathrm H}$ である。和は

$$\mathrm{d} S_{\mathrm{gen}}=\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}+\mathrm{d} S_{\mathrm{rad}}=\frac13\,\frac{\mathrm{d} E}{T_{\mathrm H}}>0\tag{7.1.20}$$

で増える。寿命 $t_{\mathrm{ev}}$ にわたって積分すると、質量は $M(t)=M_0(1-t/t_{\mathrm{ev}})^{1/3}$ で減る（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）ので、$S_{\mathrm{BH}}(t)=S_0(1-t/t_{\mathrm{ev}})^{2/3}$、$S_{\mathrm{rad}}(t)=\frac43(S_0-S_{\mathrm{BH}}(t))$ となり、$S_{\mathrm{gen}}$ は $S_0$ から $\frac43S_0$ へ単調に増える（図 7.1.3）。この比 $\mathrm{d} S_{\mathrm{rad}}=-\frac43\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}$ と $S_{\mathrm{BH}}(t)$・$S_{\mathrm{rad}}(t)$ は、第7部第2章（式 (7.2.15)）で Hawking の計算の放射の von Neumann エントロピーとして読み直し、第7部第3章で比を $\alpha$ と書いて Page 時間（式 (7.3.13)）を出す。

1　A. C. Wall (2012), Phys. Rev. D 85, 104049。地平面の上の可観測量の代数が満たすべき公理（決定性・超局所性・局所 Lorentz 不変性・安定性）を仮定し、自由場と1+1次元の共形場理論で公理を確かめている。