出てくるもの（2）：蒸発するブラックホールの Page 時間

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第3章 §7.3.4　★★★ qubit の数を Bekenstein–Hawking エントロピーと放射の熱力学のエントロピーに読み替えると、Page 時間はブラックホールが初めのエントロピーの 3/7 を失った時刻（寿命の 0.568 倍）になる

2つの粗視化したエントロピー

qubit の模型の $\ln d_B$ と $\ln d_R$ を、本物のブラックホールの量に読み替える。ブラックホールの側は、7.3.1 節で断った仮定のとおり$\ln d_B=S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}$ と置く。質量 $M$ の Schwarzschild ブラックホールでは

$$\frac{S_{\mathrm{BH}}}{k_{\mathrm B}}=\frac{c^3A}{4G\hbar}=\frac{4\pi GM^2}{\hbar c}\tag{7.3.9}$$

である（$A=4\pi r_{\mathrm s}^2$、$r_{\mathrm s}=2GM/c^2$。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）。

放射の側の $\ln d_R$ は、放射を熱力学で数えたエントロピー $S_{\mathrm{rad}}$ を $k_{\mathrm B}$ で割ったものと置く。熱的な放射は、同じエネルギーを持つ状態の中でエントロピーが最大の状態なので、$S_{\mathrm{rad}}/k_{\mathrm B}$ は「放射がこれまでに運んだエネルギーを持つ状態の数の対数」である。これは放射の粗視化したエントロピーで、放射の各部分を独立に熱的とみなして足した値である。一方、$S(\hat\rho_R)$ は放射全体の状態の von Neumann エントロピーで、細かいエントロピー（fine-grained）と呼ぶ。両者の間には、式 (7.3.2) の $D\ge0$ と同じ理由で $S(\hat\rho_R)\le S_{\mathrm{rad}}/k_{\mathrm B}$ が成り立つ。

Hawking 放射が真空へ自由に流れ出るとき、$S_{\mathrm{rad}}$ はどれだけ増えるか。ブラックホールが $\mathrm{d} M<0$ だけ質量を失うと、第一法則$c^2\mathrm{d} M=T_{\mathrm H}\,\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第19章）から、放射はエネルギー $-c^2\mathrm{d} M=-T_{\mathrm H}\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}$ を運ぶ。温度 $T_{\mathrm H}$ の黒体放射は、エネルギー $E$ あたり $4E/(3T)$ のエントロピーを運ぶ（7.3.6 節）。したがって

$$\mathrm{d} S_{\mathrm{rad}}=-\alpha\,\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}},\qquad \alpha=\frac43\tag{7.3.10}$$

である。この比は第7部第1章の式 (7.1.20) と第7部第2章の式 (7.2.14) で使ったもので、ここではそれを $\alpha$ と名付けて一般の値のまま使う。$\alpha>1$ なので、自由に流れ出る放射は、ブラックホールが失った分より多くのエントロピーを持つ。この結果は W. H. Zurek（1982）による¹1W. H. Zurek (1982), Physical Review Letters 49, 1683–1686。Zurek は同じ論文で、ブラックホールを周りと熱平衡を保ちながらゆっくり蒸発させれば $\alpha=1$ にできることも示した。下の脚注へ閉じる。初めのブラックホールのエントロピーを $S_0$ とすると、$S_{\mathrm{rad}}=\alpha(S_0-S_{\mathrm{BH}})$ である。

Page 時間

qubit の模型の $\min(\ln d_R,\ln d_B)$ をこの2つに読み替えると、ブラックホールの Page 曲線は

$$k_{\mathrm B}S(\hat\rho_R)\approx\min\bigl(S_{\mathrm{rad}},\,S_{\mathrm{BH}}\bigr)=\min\bigl(\alpha(S_0-S_{\mathrm{BH}}),\,S_{\mathrm{BH}}\bigr)\tag{7.3.11}$$

になる。2つが等しくなる時刻が Page 時間で、そのときのブラックホールのエントロピーは

$$S_{\mathrm{BH}}=\frac{\alpha}{1+\alpha}S_0=\frac47S_0,\qquad \frac{M}{M_0}=\sqrt{\frac47}=0.756\tag{7.3.12}$$

である（$S_{\mathrm{BH}}\propto M^2$）。ブラックホールが失ったエントロピーは初めの $3/7$ で、半分ではない。放射の粗視化したエントロピーが、失われた分の $4/3$ 倍あるからである。

時刻に直すには蒸発の速さが要る。第5部第12章の黒体の見積もり $P=\hbar c^6/(15360\pi G^2M^2)$ から $\mathrm{d} M/\mathrm{d} t=-P/c^2\propto-M^{-2}$ で、積分すると$M(t)=M_0(1-t/t_{\mathrm{ev}})^{1/3}$、寿命は $t_{\mathrm{ev}}=5120\pi G^2M_0^3/(\hbar c^4)$ である。$M/M_0=\sqrt{4/7}$ になるのは

$$\frac{t_{\mathrm{Page}}}{t_{\mathrm{ev}}}=1-\Bigl(\frac47\Bigr)^{3/2}=0.568\tag{7.3.13}$$

のときである。これは第7部第2章で Hawking の曲線が上限 $S_{\mathrm{BH}}$ を超える時刻 $\tau_*$（例題 7.2.4）と同じ時刻である。Hawking の計算がそこから先で正しくなくなる、というのが Page の読み方である。曲線 (7.3.11) を時刻の関数として描いたのが図 7.3.3 である。光子のほかに重力子やニュートリノも出ること、灰色体因子が 1 でないことを入れると $\alpha$ と蒸発の速さが変わり、Page 時間の数値は変わる。光子と重力子だけを出す大きなブラックホールについて灰色体因子まで入れて計算すると、Page 時間は寿命の 53.81%、ブラックホールが初めの Bekenstein–Hawking エントロピーの 40.25% を失った時刻になる²2D. N. Page (2013), Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 2013(09), 028。下の脚注へ閉じる。黒体の見積もりの $0.568$ と $3/7=42.9\%$ はこれに近く、曲線が山形になることは変わらない。

Hawking の計算はどの時刻から矛盾するか

Hawking の計算は、放射の細かいエントロピーを粗視化したエントロピー $S_{\mathrm{rad}}$ に等しいとする（放射の各部分が互いに独立で、相関はすべて中の相手との間にある）。Page 時間の前は $S_{\mathrm{rad}}\le S_{\mathrm{BH}}$ で、これは式 (7.3.4) と矛盾しない。Page 時間の後は $S_{\mathrm{rad}}>S_{\mathrm{BH}}$ になり、$k_{\mathrm B}S(\hat\rho_R)=S_{\mathrm{rad}}$ が $k_{\mathrm B}S(\hat\rho_B)\le S_{\mathrm{BH}}$ を超える。全体が純粋なら両者は等しいはずなので、ここで矛盾する。蒸発しきった $t=t_{\mathrm{ev}}$ では、Hawking の計算は $S(\hat\rho_R)=\frac43S_0/k_{\mathrm B}$ を、ユニタリ性は $S(\hat\rho_R)=0$ を要求する。

矛盾が起きるのは Page 時間で、そのときブラックホールの質量はまだ初めの $3/4$ ほど残っている。地平面での曲率は $1/r_{\mathrm s}^2$ 程度で小さく、Hawking の計算の前提（計量を古典のまま扱う）が壊れる理由は見当たらない。パラドックスが「Planck スケールの最後の瞬間の問題」ではなく、半古典の計算が信頼できる時期の問題であることを、Page 曲線ははっきりさせた。どう解決するかは、半古典の計算そのものに新しい寄与を足す第7部第7章の式 (7.7.10)（島の公式）で扱う。

1　W. H. Zurek (1982), Physical Review Letters 49, 1683–1686。Zurek は同じ論文で、ブラックホールを周りと熱平衡を保ちながらゆっくり蒸発させれば $\alpha=1$ にできることも示した。

2　D. N. Page (2013), Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 2013(09), 028。