出てくるもの（3）：Page 時間の後の放射は前の放射ともつれる

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第3章 §7.3.5　★★★ 次に出る1個の qubit がもつれる相手は、Page 時間の前はブラックホールの中、後は前に出た放射に入れ替わり、相互情報量の和 $2S(\hat\rho_L)$ の配分が Hawking の描像と両立しない

3つに分ける

Page 曲線は放射全体のエントロピーだけを述べている。情報がどこにあるかを細かく見るために、放射を「これまでに出た $k$ 個」$E$（early）と「次に出る1個」$L$（late）に分け、全体を $E$、$L$、$B$（残りの $N-k-1$ 個）の3つの部分の純粋状態とみる。$L$ がどこともつれているかは、相互情報量 $I(L;E)$ と $I(L;B)$ で測る。

全体が純粋なら、$S(\hat\rho_{LE})=S(\hat\rho_B)$、$S(\hat\rho_{LB})=S(\hat\rho_E)$ なので

$$I(L;E)+I(L;B)=\bigl(S_L+S_E-S_B\bigr)+\bigl(S_L+S_B-S_E\bigr)=2S(\hat\rho_L)\le2\ln2\tag{7.3.14}$$

が成り立つ（$S_X=S(\hat\rho_X)$ と略した）。1個の qubit が他と持てる相関の総量は $2\ln2$ と決まっていて、$E$ と $B$ の間で取り合いになる。第7部第5章では同じ3つを $B$（次に出る1個）・$R$（前の放射）・$C$（内側の相手）と書き、混合状態でも成り立つ不等式（定理 7.5.1）として扱う。ここの等式は全体が純粋な場合である。これは第3部第3章の弱単調性（もつれの一夫一婦制の最小形）を、純粋な3つの部分で等式にしたものである。

もつれの相手の入れ替わり

乱数の状態では、(7.3.7) を $E$ と $LE$ に当てて

$$I(L;E)=\ln2+S(\hat\rho_E)-S(\hat\rho_{LE})\approx \begin{cases} 0 & (k+1\le N/2)\\ 2\ln2 & (k\ge N/2) \end{cases}\tag{7.3.15}$$

になる。Page 時間の前は $E$ も $LE$ も小さい側なので、$S$ は qubit の数に比例し、$S(\hat\rho_{LE})-S(\hat\rho_E)=\ln2$ で $I(L;E)\approx0$ である。このとき (7.3.14) から $I(L;B)\approx2\ln2$ で、$L$ はブラックホールの中と最大にもつれている。これは Hawking の描像（外へ出る qubit は中の相手と対をなす）と同じである。Page 時間の後は $E$ も $LE$ も大きい側なので $S(\hat\rho_E)-S(\hat\rho_{LE})=\ln2$ で、$I(L;E)\approx2\ln2$、$I(L;B)\approx0$ になる。後から出る qubit は、前に出た放射と最大にもつれていて、中とはほとんど相関を持たない。放射全体の $S$ が1個ごとに $\ln2$ ずつ減るのは、新しい qubit が前の放射の混ざり具合を1個分ずつ打ち消している（前の放射を純粋化している）からである。

図 7.3.4　次に出る1個の qubit $L$ と、前に出た放射 $E$、ブラックホール $B$ との相互情報量（Page の式による厳密な平均、14 qubit）。2つの和はどの $k$ でも $2\ln2$ で、Page 時間を境に相手が入れ替わる。

Hawking の描像と両立しない理由

Hawking の計算は、地平面の近くが Minkowski 時空の真空と区別できないことから、外へ出る qubit がいつでも中の相手と最大にもつれている（$I(L;B)=2\ln2$）と結論する。一方、ユニタリ性と典型性からは、Page 時間の後は $I(L;E)\approx2\ln2$ である。(7.3.14) から和は $2\ln2$ を超えられないので、2つは同時に成り立たない。「放射は全体として純粋」「地平面のまわりは真空と区別できない」「外は場の量子論で書ける」の3つがこの形でぶつかるというのが、Almheiri–Marolf–Polchinski–Sully（2012）のファイアウォールの議論で、第7部第5章の式 (7.5.9) で扱う。

$I(L;E)$ が大きいことは、Page 時間の後のブラックホールに物を落とすと、その情報が短い時間で放射に出てくることも示唆する。ブラックホールの中がすでに前の放射と最大にもつれていれば、新しく入れた qubit の分の情報は、少しの放射を待つだけで前の放射と合わせて読み取れる。これは Hayden と Preskill（2007）の議論で、デカップリングの定理（第7部第4章の定理 7.4.2）として示す。

ただし $I(L;E)\approx2\ln2$ の情報は、$L$ と前の放射のたくさんの qubit を合わせて測ったときにだけ読み取れる。前の放射の少数の qubit と $L$ の相互情報量は、(7.3.15) と同じ計算で、その少数の qubit が全体の半分を超えない限りほぼ $0$ である。情報が出ていることと、それを取り出す手順が簡単であることは別の話である。