当てる $D$ の性質：デカップリングの不等式

左辺を $\hat T$ と書く。Haar 測度の不変性から、任意のユニタリ $\hat V$ について $(\hat V\otimes\hat V)\hat T(\hat V\otimes\hat V)^\dagger=\hat T$ である。$\hat V\otimes\hat V$ の形の演算子すべてと交換する演算子は、$\mathbf 1$ と $\mathrm{SWAP}$ の線形結合に限る（Schur–Weyl の双対性。2つの複製の空間は対称な部分と反対称な部分に分かれ、$\hat V\otimes\hat V$ はそれぞれの上で既約に働くので、Schur の補題により各部分の上で定数倍になる）。係数は、$\hat T=\alpha\mathbf 1+\beta\,\mathrm{SWAP}$ の両辺の $\operatorname{Tr}$ と $\operatorname{Tr}(\cdot\,\mathrm{SWAP})$ を取り、$\operatorname{Tr}\mathbf 1=d^2$、$\operatorname{Tr}\mathrm{SWAP}=d$、$\operatorname{Tr}\hat T=\operatorname{Tr}\hat Q$、$\operatorname{Tr}(\hat T\,\mathrm{SWAP})=\operatorname{Tr}(\hat Q\,\mathrm{SWAP})$ を使って連立方程式$d^2\alpha+d\beta=\operatorname{Tr}\hat Q$、$d\alpha+d^2\beta=\operatorname{Tr}(\hat Q\,\mathrm{SWAP})$ を解けば得られる。

$E$ と $L$ を部分トレースすると、$\hat\rho_{RC}=\frac{1}{d_Ad_E}\sum_{r,r'}| r \rangle \langle r' |_R\otimes\operatorname{Tr}_L\bigl[\hat U\hat P_{rr'}\hat U^\dagger\bigr]$ と書ける。ここで$\hat P_{rr'}=| r \rangle \langle r' |_A\otimes\mathbf 1_{B_1}\otimes| 0 \rangle \langle 0 |_{B_2}$ である（$E$ の部分トレースで $B_1$ に恒等演算子が残る）。純粋度は

$$\operatorname{Tr}\hat\rho_{RC}^2=\frac{1}{d_A^2d_E^2}\sum_{r,r'}\operatorname{Tr}\Bigl[(\hat U\otimes\hat U)(\hat P_{rr'}\otimes\hat P_{r'r})(\hat U\otimes\hat U)^\dagger\,(\mathrm{SWAP}_C\otimes\mathbf 1_{LL})\Bigr]$$

で、補題 7.4.1 を $\hat Q=\hat P_{rr'}\otimes\hat P_{r'r}$ に当てる。$\operatorname{Tr}\hat Q=\delta_{rr'}d_E^2$、$\operatorname{Tr}(\hat Q\,\mathrm{SWAP})=\operatorname{Tr}(\hat P_{rr'}\hat P_{r'r})=d_E$ なので、$r,r'$ について和を取ると$\sum\alpha=d_Ad_E(d_E-d_A/d)/(d^2-1)$、$\sum\beta=d_Ad_E(d_A-d_E/d)/(d^2-1)$。また $\operatorname{Tr}(\mathrm{SWAP}_C\otimes\mathbf 1_{LL})=d_Cd_L^2$、$\operatorname{Tr}(\mathrm{SWAP}_{CL}\cdot\mathrm{SWAP}_C\otimes\mathbf 1_{LL})=\operatorname{Tr}(\mathbf 1_{CC}\otimes\mathrm{SWAP}_L)=d_C^2d_L$ を使えば式 (7.4.8) の等号を得る。

不等号は、右辺に $d_Ad_E(d^2-1)$ を掛けた $d_Ed_Cd_L^2+d_Ad_C^2d_L-d_E/d_C-d_A/d_L$ から左辺の分子 $d_Cd_L^2d_E+d_C^2d_Ld_A-d_Ad_L-d_Ed_C$ を引くと$d_Ad_L+d_Ed_C-d_E/d_C-d_A/d_L\ge0$ になることから従う（$d=d_Cd_L$ を使った）。

最後に式 (7.4.6) の平均を取り、$\ln$ の凹性（Jensen の不等式）で $\mathbb E\ln(\cdot)\le\ln\mathbb E(\cdot)$ とすれば$\mathbb E\,I(R;C)\le\ln\bigl(d_Ad_C\,\mathbb E\operatorname{Tr}\hat\rho_{RC}^2\bigr)\le\ln\bigl(1+d_Ad_C/(d_Ed_L)\bigr)$。最後の不等号は $\ln(1+x)\le x$ である。

$| \Psi \rangle _{RCLE}$ は $\hat\rho_{RC}$ の、$EL$ を純粋化の系とした純粋化である。一方 $\pi_R\otimes\hat\rho_C$ には、$R$ と最大にもつれた $R'$ と、$\hat\rho_C$ の純粋化 $| \phi \rangle _{CC'}$ を並べた純粋化$| \Phi \rangle _{RR'}\otimes| \phi \rangle _{CC'}$ がある。$R'C'$ を Bob の側（$EL$ に補助を足したもの）に置けば、Uhlmann の定理により Bob の側の操作 $\hat V$ で$\lvert \langle \Phi_{RR'}\phi_{CC'} | \hat V | \Psi \rangle \rvert =F(\hat\rho_{RC},\pi_R\otimes\hat\rho_C)$ にできる。全体の忠実度は部分トレースで減らないので、$RR'$ の状態と $| \Phi \rangle _{RR'}$ の忠実度もこれ以上である。次に、Fuchs–van de Graaf の不等式 $1-F\le\frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1$ と量子 Pinsker の不等式 $\frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1\le\sqrt{D(\hat\rho\|\hat\sigma)/2}$（どちらも第3部第8章）を使い、$\hat\rho_R=\pi_R$ から $D(\hat\rho_{RC}\|\pi_R\otimes\hat\rho_C)=I(R;C)$ を代入すると式 (7.4.10) を得る。