比べる2つの状態：日記を飲み込んだブラックホール

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第4章 §7.4.1　★★★ Hayden–Preskill の思考実験を量子ビットの模型にし、日記を取り戻せる条件を、残ったブラックホールと参照系の $D(\hat\rho_{RC}\,\|\,\hat\rho_R\otimes\hat\rho_C)=I(R;C)$ が $0$ であることとして述べる

前の章（第7部第3章）では、ブラックホールが純粋な状態から生まれ、その力学がユニタリなら、放射のエントロピーは Page 時間で増加から減少に折り返すはずだということを見た（第7部第3章の式 (7.3.7)）。Page 曲線が言っているのは、放射全体がいつかは純粋な状態に戻るということで、情報が「最後には」放射に出てくるという主張である。この章が問うのは、もっと細かい問いである。Page 時間を過ぎたブラックホールに、Alice が $k$ 量子ビットの日記を投げ込んだとする。外にいる Bob は、それまでの放射をすべて集めて手元に持っている。Bob は、日記を取り戻すのに、あと何量子ビットの放射を待てばよいか。

Hayden と Preskill は 2007 年に、答えが「$k$ に数量子ビットを足しただけ」であることを示した¹1P. Hayden and J. Preskill (2007), JHEP 0709, 120。論文の題は「Black holes as mirrors: quantum information in random subsystems」である。下の脚注へ閉じる。ブラックホールの中で日記の情報が十分に混ぜられる（スクランブルされる）なら、Page 時間の後のブラックホールは投げ込まれたものをほとんど遅れなく返す。論文の題はこの振る舞いを指して、ブラックホールを「鏡」と呼んでいる。

この章では、この結果をこの巻の背骨である相対エントロピーの言葉で読む。比べる2つの状態は、日記を最大にもつれさせておいた参照系 $R$ と、放射を出した後に残ったブラックホール $C$ の状態 $\hat\rho_{RC}$ と、その周辺の積 $\hat\rho_R\otimes\hat\rho_C$ である。両者の $D$ は相互情報量 $I(R;C)$ で、これが $0$ なら Bob は日記を取り戻すことができる。これは量子誤り訂正の章（第3部第9章）の「環境とのデカップリング」と同じ条件である。当てる性質は、$D$ を $\chi^2$ 型の量で上から押さえる不等式（第2部第3章）と、Haar 測度で選んだユニタリの2次のモーメントで、これだけで $I(R;C)$ の平均が $\ln\bigl(1+d_Ad_C/(d_Ed_L)\bigr)$ 以下になることが言える（記号は 7.4.1節で定める）。ここから3つのものが出てくる。1つ目は、古いブラックホールは $k+c$ 量子ビットで日記を返し、若いブラックホールは Page 時間まで返さないという結論である。2つ目は、この結論を量子誤り訂正の符号の言葉で読み直したもので、$k$ 量子ビットが下限であること、若いブラックホールの遅れが量子 Singleton 上界と一致することが分かる。3つ目は、スクランブルの速さを測る時間順序のずれた相関関数（OTOC）と $D$ を結ぶ等式と、スクランブリング時間 $t_*\approx\frac{\hbar}{2\pi k_{\mathrm B} T}\ln(S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B})$ である。

この章の対数は自然対数（nat）で、図と一部の数ではビットに直して「ビット」と書く。Pauli 行列は $X,Y,Z$、恒等演算子は $\mathbf 1$、$d$ 次元の完全に混ざった状態は $\pi=\mathbf 1/d$ と書く。量子ビットの組の名前（$A,B,C,E,L,R$）は 7.4.1節の表で定める。この章ではエネルギーを $E$ と書かず、質量を $M$、そのエネルギーを $Mc^2$ と書く。

思考実験の模型

ブラックホールの中身を、$n$ 個の量子ビットからなる系 $B$ で表す。$B$ の Hilbert 空間の次元 $d_B=2^n$ は、Bekenstein–Hawking エントロピーで $n\ln2\approx S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}$ と見積もる（$S_{\mathrm{BH}}$ が何を数えているかは第7部第1章の 7.1.5 節の問いで、ここでは状態の数の対数だと仮定する）。ブラックホールはそれまでに放射を出していて、その放射 $E$ を Bob が全部集めて持っている。$B$ のうち $m$ 個の量子ビットが $E$ と最大にもつれていて、残りの $n-m$ 個は決まった状態 $| 0 \rangle$ にあるとする。Page 時間の後（第7部第3章の式 (7.3.4)）のブラックホールは $m=n$、すなわち $B$ 全体が放射と最大にもつれている。これを古いブラックホールと呼ぶ。生まれたばかりで放射をまだ出していないものは $m=0$ で、若いブラックホールと呼ぶ。

Alice は $k$ 量子ビットの日記 $A$ をブラックホールに投げ込む。日記の中身を1つの状態に固定せず、どんな中身でも取り戻せるかを問うために、$A$ を参照系 $R$（$k$ 量子ビット）と最大にもつれさせた状態 $| \Phi \rangle _{RA}=2^{-k/2}\sum_r| r \rangle _R| r \rangle _A$ を投げ込むと考える。$R$ との最大のもつれを $A$ の外へ運べれば、どんな日記の状態も運べる（第3部第9章と同じ考え方）。

日記を飲み込んだブラックホール $AB$（$n+k$ 量子ビット）は、ユニタリ $\hat U$ で時間発展する。その後に $s$ 個の量子ビットが放射 $L$ として外へ出て、Bob がそれを受け取る。ブラックホールに残るのは $C$（$n+k-s$ 量子ビット）である。全体の状態は

$$| \Psi \rangle _{RCLE}=\bigl(\mathbf 1_R\otimes\hat U_{AB\to CL}\otimes\mathbf 1_E\bigr)\,| \Phi \rangle _{RA}\otimes| \Phi \rangle _{B_1E}\otimes| 0 \rangle _{B_2}\tag{7.4.1}$$

で、$B_1$ は $E$ ともつれた $m$ 量子ビット、$B_2$ は残りの $n-m$ 量子ビットである。各系の次元を次の表にまとめる。

$R$ は第3部第9章の参照系と同じ使い方で、第7部第3・5・7章の $R$（放射）とは別のものである。放射はこの章では $E$（それまでの放射）と $L$（新しく出る放射）で、第7部第3章の $E$・$L$ と同じ使い方である。立体の $\mathrm L$（第7部第2章の楔）とは書体で分ける。

比べる2つの状態

$R,C,L,E$ の全体は純粋状態なので、2つに分けた両側のエントロピーは等しい（Schmidt 分解。第3部第4章）。$S(RC)=S(LE)$、$S(RLE)=S(C)$ を使うと

$$I(R;C)+I(R;EL)=\bigl[S(R)+S(C)-S(RC)\bigr]+\bigl[S(R)+S(EL)-S(REL)\bigr]=2S(R)=2k\ln2\tag{7.4.2}$$

を得る。参照系 $R$ との相関の総量 $2k\ln2$ は、残ったブラックホール $C$ と Bob の手元 $EL$ に分けて配られる。これは 第3部第9章の式で、「出力」を Bob の手元、「環境」を残ったブラックホールと読み替えたものである。

Bob が日記を取り戻せるのは $I(R;EL)=2k\ln2$、すなわち $R$ との相関がすべて Bob の手元にあるときで、式 (7.4.2) によりそれは

$$I(R;C)=D\bigl(\hat\rho_{RC}\,\|\,\hat\rho_R\otimes\hat\rho_C\bigr)=0\tag{7.4.3}$$

と同値である。これがこの章で比べる2つの状態である。一方は残ったブラックホールと参照系の実際の状態 $\hat\rho_{RC}$、他方は両者に相関が無いとした状態 $\hat\rho_R\otimes\hat\rho_C$ で、その $D$ が $0$ であることを「$C$ が $R$ からデカップリングしている」という。第3部第9章では誤りを直せる条件として同じ式が出た。ここでの「誤り」は、残ったブラックホール $C$ が Bob の手に入らないこと、すなわち $C$ の消失である。

$\hat U$ は $R$ に触れないので、$\hat\rho_R=\pi_R$ は $\hat U$ によらず完全に混ざった状態のままである。$D$ を $\pi_R\otimes\pi_C$ に対して取ると、

$$D\bigl(\hat\rho_{RC}\,\|\,\pi_R\otimes\pi_C\bigr)=\ln(d_Ad_C)-S(RC)=I(R;C)+D\bigl(\hat\rho_C\,\|\,\pi_C\bigr)\ \ge\ I(R;C)\tag{7.4.4}$$

と分かれる（$\ln d_A=S(R)$ と $\ln d_C-S(C)=D(\hat\rho_C\|\pi_C)$ を足して引いただけ）。次の節では、この左辺を上から押さえる。

1　P. Hayden and J. Preskill (2007), JHEP 0709, 120。論文の題は「Black holes as mirrors: quantum information in random subsystems」である。