出てくるもの（1）：AMPS の矛盾

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第5章 §7.5.3　★★★ 仮定1は $I(B;C)=2S(B)$、仮定3は $I(B;R)=2S(B)$ を要求し、和 $4S(B)$ は上限 $2S(B)$ を超える。小さな補正で救えないことも同じ不等式から量で言える

矛盾

7.5.1節の3つの仮定を定理 7.5.1 に入れる。Page 時間の後に出る遅いモード $B$ について、仮定1は $I(B;C)=2S(B)$、仮定3は $I(B;R)\approx2S(B)$ を要求する。仮定2は、$B$・$C$・$R$ を別々の系として扱い、$B$ の状態をどちらの仮定でも同じ熱状態としてよいことを保証する。すると

$$I(B;R)+I(B;C)\approx4S(B)>2S(B)\tag{7.5.9}$$

となり、一夫一婦制の不等式 (7.5.8) に反する。$B$ が量子ビット1個なら、図 7.5.2 の点 $(2,2)$ である。

AMPS の原論文は、同じ矛盾を強劣加法性 (7.5.6) で直接書いた。$S(RB)+S(BC)\ge S(B)+S(RBC)$ に仮定1の $S(BC)=0$ を入れると、$BC$ が純粋なので $\hat\rho_{RBC}=\hat\rho_R\otimes\hat\rho_{BC}$ で $S(RBC)=S(R)$。したがって $S(RB)\ge S(R)+S(B)$ で、$B$ を加えると放射のエントロピーは増えるしかない。一方、仮定3は $S(RB)\approx S(R)-S(B)$ を要求する。2つの書き方は同じ不等式の別の顔で、どちらも「部分トレースで相対エントロピーが増えない」の帰結である。

この矛盾が Page 時間の後にだけ現れることに注意する。Page 時間の前は $R$ が小さく、$B$ はまだ $R$ とほとんど相関していない（$I(B;R)\approx0$）。Hawking の計算は、それを最後まで延ばして $I(B;R)=0$ のまま放射のエントロピーを増やし続ける。それが情報喪失のパラドックスだった（第7部第2章）。Page 時間の後に純粋性を回復させようとすると、今度は地平面の真空と衝突する。AMPS の議論は、情報喪失のパラドックスを「Page 時間の後のある時刻に、ある1つのモードについて」局所的に言い直したものと読める。

図 7.5.3　全体で $N=12$ 個の量子ビットが Haar 乱数の純粋状態にあり、そのうち $k$ 個が放射 $R_k$ に出たときの、次の1個 $B$ と $R_k$ の相互情報量の平均（実線、Page の平均の式から計算した厳密な期待値）。Page 時間を過ぎるとほぼ $2\ln2$ になる。点線は仮定1が同じ $B$ と内側の相手に要求する値で、2本の和は上限 $2\ln2$ を超える

小さな補正では救えない

Hawking の計算に小さな補正を足せば、放射は少しずつ $R$ と相関を持つようになり、矛盾が消えるのではないか、という期待がある。Mathur は、これが不可能であることを量的に示した¹1S. D. Mathur (2009), Class. Quantum Grav. 26, 224001.下の脚注へ閉じる。同じ趣旨の不等式を、この章の道具で出しておく。

$S(BC)$ は、$B$ と $C$ の組が純粋な熱場二重状態からどれだけずれているかを測る。ずれが小さく $S(BC)\le\epsilon$ なら、$B$ が出るたびに放射のエントロピーは少なくとも $S(B)-2\epsilon$ 増える。Page 時間の後に求められているのは、逆に $S(B)$ だけ減ることだった。式 (7.5.10) で $S(RB)-S(R)=-S(B)$ とおくと $S(BC)\ge S(B)$ で、$B$ と $C$ の組は純粋どころか $B$ 自身と同じだけ混ざっていなければならない。$B$ が量子ビットなら $S(BC)\ge\ln2$ である。地平面の真空からのずれは、モード1個あたり $\mathcal{O}(1)$ の大きさで要る。ずれを小さな補正として扱う限り、放射のエントロピーは増え続ける。