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当てる D の性質：非負性と、Haar 平均の2次の上界

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第7部 第3章 Page 曲線
目次
  1. 上限：非負性と純粋状態の対称性
  2. 下限：2次の上界の Haar 平均
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第3章 §7.3.2　★★★ D≥0D\ge0 と Schmidt 分解が S(ρ^R)≤min⁡(ln⁡dR,ln⁡dB)S(\hat\rho_R)\le\min(\ln d_R,\ln d_B) を与え、2次の上界 D≤ln⁡(1+χ2)D\le\ln(1+\chi^2) の Haar 平均が、乱数の状態はこの上限に dmin⁡/dmax⁡d_{\min}/d_{\max} の精度で達することを与える

上限：非負性と純粋状態の対称性

式 (7.3.2) の D≥0D\ge0（Klein の不等式、第3部第2章）から S(ρ^R)≤ln⁡dRS(\hat\rho_R)\le\ln d_R である。同じことをブラックホールの側に当てると S(ρ^B)≤ln⁡dBS(\hat\rho_B)\le\ln d_B で、全体が純粋なら S(ρ^R)=S(ρ^B)S(\hat\rho_R)=S(\hat\rho_B) なので

S(ρ^R)≤min⁡(ln⁡dR,ln⁡dB)(7.3.4)S(\hat\rho_R)\le\min(\ln d_R,\ln d_B)\tag{7.3.4}

が、どんな純粋状態でも成り立つ。放射のエントロピーは、放射の自由度の数と、ブラックホールに残った自由度の数の、小さい方を超えられない。Hawking の状態の S(ρ^R)=kln⁡2S(\hat\rho_R)=k\ln2 は、k≤N/2k\le N/2 の間はこの上限にちょうど等しく、k>N/2k>N/2 では上限 (N−k)ln⁡2(N-k)\ln2 を超える。したがって、全体が純粋で BB の次元が 2N−k2^{N-k} なら、Hawking の状態は k>N/2k>N/2 で実現できない。ここまでは状態についての仮定を何も使っていない。

下限：2次の上界の Haar 平均

上限 (7.3.4) は不等式なので、実際の S(ρ^R)S(\hat\rho_R) がこれよりずっと小さい可能性は残る。Page の議論の2つ目の仮定は、ブラックホールの時間発展は十分に複雑で、全体の状態は Haar 測度で選んだ乱数の状態と同じ性質を持つ、というものである。この仮定のもとで、平均の S(ρ^R)S(\hat\rho_R) が上限にほぼ達することを、第2部第3章の道具だけで示す。

定理 7.3.2（部分系のエントロピーの Haar 平均 ★★★）

HA⊗HB\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B（dA≤dBd_A\le d_B）の純粋状態を Haar 測度で選ぶと

ln⁡dA−ln⁡(1+dA2−1dAdB+1)≤EψS(ρ^A)≤ln⁡dA.(7.3.5)\ln d_A-\ln\Bigl(1+\frac{d_A^2-1}{d_Ad_B+1}\Bigr)\le\mathbb E_\psi S(\hat\rho_A)\le\ln d_A.\tag{7.3.5}

左辺は ln⁡dA−dA/dB\ln d_A-d_A/d_B 以上で、第2部第3章の式 (2.3.21) と同じ評価である。厳密な平均は、第2部第3章の式 (2.3.22) を再掲すると、Page の式

EψS(ρ^A)=∑j=dB+1dAdB1j−dA−12dB≈ln⁡dA−dA2−12dAdB(7.3.6)\mathbb E_\psi S(\hat\rho_A)=\sum_{j=d_B+1}^{d_Ad_B}\frac1j-\frac{d_A-1}{2d_B}\approx\ln d_A-\frac{d_A^2-1}{2d_Ad_B}\tag{7.3.6}

で与えられる。dA>dBd_A>d_B のときは AA と BB を入れ替える（S(ρ^A)=S(ρ^B)S(\hat\rho_A)=S(\hat\rho_B)）。

証明

右側の不等式は (7.3.4) である。左側を示す。ρ^A\hat\rho_A の固有値を λi\lambda_i とすると、ln⁡\ln が凹なので Jensen の不等式から

S(ρ^A)=∑iλiln⁡1λi≥−ln⁡∑iλi2=−ln⁡Tr⁡ρ^A2S(\hat\rho_A)=\sum_i\lambda_i\ln\frac1{\lambda_i}\ge-\ln\sum_i\lambda_i^2=-\ln\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2

（右辺は 2 次の Rényi エントロピー）。したがって D(ρ^A ∥ 1/dA)=ln⁡dA−S(ρ^A)≤ln⁡(dATr⁡ρ^A2)D(\hat\rho_A\,\|\,\mathbf 1/d_A)=\ln d_A-S(\hat\rho_A)\le\ln(d_A\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2) で、これは第2部第3章の上界 D≤ln⁡(1+χ2)D\le\ln(1+\chi^2) をσ^=1/dA\hat\sigma=\mathbf 1/d_A に当てたものと同じである。両辺の Haar 平均を取り、ln⁡\ln の凹性からもう一度 Jensen の不等式 Eln⁡X≤ln⁡EX\mathbb E\ln X\le\ln\mathbb EX を使うと

EψD(ρ^A ∥ 1/dA)≤ln⁡(dA EψTr⁡ρ^A2)=ln⁡dA(dA+dB)dAdB+1=ln⁡(1+dA2−1dAdB+1).\mathbb E_\psi D(\hat\rho_A\,\|\,\mathbf 1/d_A)\le\ln\bigl(d_A\,\mathbb E_\psi\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2\bigr)=\ln\frac{d_A(d_A+d_B)}{d_Ad_B+1}=\ln\Bigl(1+\frac{d_A^2-1}{d_Ad_B+1}\Bigr).

ここで EψTr⁡ρ^A2=(dA+dB)/(dAdB+1)\mathbb E_\psi\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2=(d_A+d_B)/(d_Ad_B+1) は第2部第3章で Haar 測度の2次のモーメントから出した式である。dA(dA+dB)/(dAdB+1)≤(dA+dB)/dB=1+dA/dBd_A(d_A+d_B)/(d_Ad_B+1)\le(d_A+d_B)/d_B=1+d_A/d_B と ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x)\le x から、左辺は ln⁡dA−dA/dB\ln d_A-d_A/d_B 以上である。Page の式は Page（1993）が予想し、Foong と Kanno（1994）、Sen（1996）が証明した（出典は第2部第3章）。ここでは証明を追わず、検算で数値を確かめる。

上界と厳密な値の差は、第2部第3章で見たのと同じく、D≈12χ2D\approx\frac12\chi^2 に由来する係数 22 である。どちらの評価でも、平均の S(ρ^A)S(\hat\rho_A) は上限 ln⁡dA\ln d_A からdA/dBd_A/d_B 程度しか下がらない。さらに第2部第3章の Lévy の補題から、個々の乱数の状態の値は平均のまわりに次元の指数で集中するので、「平均で上限に達する」は「ほとんどすべての状態で上限に達する」と言い換えてよい。Page の議論に要るのはこの形である。

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの dmin⁡/dmax⁡→0d_{\min}/d_{\max}\to0（放射とブラックホールの小さい方の次元が大きい方に比べて小さい）　｜　証明 条件付き（Haar 平均の評価と集中は証明済み。ブラックホールの時間発展を Haar 乱数のユニタリとみなしてよいかは仮定）　｜　行き先 近似の数理 第13章

例題 7.3.2　2 qubit と 4 qubit で上下の評価を比べる ★★

オリジナル6 qubit の乱数の純粋状態を、2 qubit の AA（dA=4d_A=4）と 4 qubit の BB（dB=16d_B=16）に分ける。

  1. (1) EψTr⁡ρ^A2\mathbb E_\psi\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2 と、定理 7.3.2 の下界を求めよ。
  2. (2) Page の式で厳密な EψS(ρ^A)\mathbb E_\psi S(\hat\rho_A) と EψD(ρ^A ∥ 1/4)\mathbb E_\psi D(\hat\rho_A\,\|\,\mathbf 1/4) を求め、上界との比を求めよ。比が 22 からずれる理由を述べよ。
  3. (3) 近似式 ln⁡dA−(dA2−1)/(2dAdB)\ln d_A-(d_A^2-1)/(2d_Ad_B) の精度を確かめよ。
解答

(1) EψTr⁡ρ^A2=(4+16)/(64+1)=4/13=0.3077\mathbb E_\psi\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2=(4+16)/(64+1)=4/13=0.3077。完全に混ざった状態の値 1/41/4 より少し大きい。EψD≤ln⁡(4×4/13)=ln⁡(16/13)=0.2076\mathbb E_\psi D\le\ln(4\times4/13)=\ln(16/13)=0.2076 なので、EψS(ρ^A)≥ln⁡4−0.2076=1.1787\mathbb E_\psi S(\hat\rho_A)\ge\ln4-0.2076=1.1787。

(2) ∑j=17641/j−3/32=1.2694\sum_{j=17}^{64}1/j-3/32=1.2694。したがって EψD=ln⁡4−1.2694=0.1169\mathbb E_\psi D=\ln4-1.2694=0.1169 で、上界との比は 0.2076/0.1169=1.7760.2076/0.1169=1.776。比が 22 になるのは χ2\chi^2 が小さいときの ln⁡(1+χ2)≈χ2\ln(1+\chi^2)\approx\chi^2 と D≈12χ2D\approx\frac12\chi^2 の比である。ここでは χ2≈dA/dB=1/4\chi^2\approx d_A/d_B=1/4 が小さくないので、ln⁡(1+χ2)\ln(1+\chi^2) が χ2\chi^2 より小さくなっている分だけ比が 22 を下回る。

(3) ln⁡4−15/128=1.2691\ln4-15/128=1.2691 で、厳密な値 1.26941.2694 と 3×10−43\times10^{-4} しか違わない。dA=4d_A=4、dB=16d_B=16 という小さな系でも、平均のエントロピーは上限 ln⁡4=1.3863\ln4=1.3863 の 92% に達している。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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