比べる2つの状態：密度行列 $\hat\rho$ と $\hat\sigma$

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第2章 §3.2.1　★★★ 行列の関数を固有値分解で定め、$S(\hat\rho)$ と $D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)$ を定義する。交換しない2状態では D が固有値の分布だけで決まらないことを量子ビットで見る

前の章（第3部第1章）では、量子系の状態を密度行列 $\hat\rho$（エルミートで半正定値、トレースが $1$ の行列）で書き、部分トレースと量子チャネル（Kraus 表示 $\mathcal N(\hat\rho)=\sum_a\hat K_a\hat\rho\hat K_a^\dagger$）を用意した。この章では、第1部で古典の分布に対して作った2つの量、Shannon エントロピー $H(p)$ と相対エントロピー $D(p\,\|\,q)$ を、密度行列に移す。移した先が von Neumann エントロピー $S(\hat\rho)=-\operatorname{Tr}(\hat\rho\ln\hat\rho)$ と量子相対エントロピー$D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma)$ である。

古典の場合と違う点は1つしかない。2つの密度行列 $\hat\rho$ と $\hat\sigma$ は一般に交換しないので、同じ基底で同時に対角化することはできない。そのため $D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)$ は、$\hat\rho$ と $\hat\sigma$ の固有値の分布の古典の相対エントロピーとは一致しない。この章で比べる2つの状態は、一般の $\hat\rho$ と $\hat\sigma$ である。当てる性質は非負性 $D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\ge0$（Klein の不等式）で、証明は古典の Gibbs の不等式（第1部第3章）と同じく、$\ln$ の凹性から出る Jensen の不等式1本で足りる。比べる相手 $\hat\sigma$ を替えると、次の3つが出てくる。$\hat\sigma$ を完全に混ざった状態や対角部分に取ると、1つの系のエントロピーの性質が出る。2つの系の積状態に取ると、量子相互情報量と、負になりうる条件付きエントロピーが出る。Gibbs 状態に取ると、量子系の自由エネルギーの変分原理と平均場近似の上界が出る。

この章の対数はすべて自然対数で、情報量の単位は nat とする。量子ビットの Pauli 行列は記法の正本に従って $X,Y,Z$ と書き、恒等演算子を $\mathbf 1$ と書く。Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ はすべて有限次元（次元 $d$）とする。D の非負性を2つの量子状態の間で示すことと、それを使った性質の導出までがこの章の範囲で、量子チャネルを通すと $D$ が増えないこと（量子データ処理不等式）と強劣加法性は次の章（第3部第3章）で扱う。

行列の関数

$\ln\hat\rho$ のような式を意味のあるものにするために、エルミート行列の関数を定めておく。エルミート行列 $\hat A$ は正規直交な固有ベクトルで$\hat A=\sum_ia_i| a_i \rangle \langle a_i |$ と分解することができる。実数の関数 $f$ に対して

$$f(\hat A)\coloneqq\sum_if(a_i)\,| a_i \rangle \langle a_i |\tag{3.2.1}$$

と定める。$f$ が多項式なら、これは行列の積で計算した $f(\hat A)$ と一致する。固有値が重なっているときも、同じ固有値の固有空間への射影子に同じ値 $f(a_i)$ を掛けるので、固有ベクトルの選び方によらない。

密度行列 $\hat\rho$ の固有値 $p_i$ は $0\le p_i\le1$、$\sum_ip_i=1$ を満たすので、確率分布になっている。固有値 $0$ のところで $\ln0$ が出るが、古典の場合と同じく $0\ln0=0$ と約束する。$\hat\rho$ の固有値が正である固有ベクトルが張る部分空間を $\hat\rho$ の台と呼び、$\operatorname{supp}\hat\rho$ と書く。

von Neumann エントロピーと量子相対エントロピー

$S(\hat\rho)$ は $\hat\rho$ の固有値の分布の Shannon エントロピーそのものである。物理の言葉に直すと、$\hat\rho$ を固有状態 $| r_i \rangle$ の確率 $p_i$ の混合とみたときに、どの固有状態にあるかについての驚きの平均である。量子力学の量なのに古典のエントロピーと同じ式になるのは、固有基底の中では $\hat\rho$ が対角で、非対角成分（コヒーレンス）が無いからである。

量子相対エントロピーの方はそう単純ではない。$\hat\rho=\sum_ip_i| r_i \rangle \langle r_i |$、$\hat\sigma=\sum_jq_j| s_j \rangle \langle s_j |$ と2つを固有値分解すると、$\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho=\sum_ip_i\ln p_i$ だが、$\ln\hat\sigma$ は $\hat\sigma$ の固有基底で対角なので

$$-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=-\sum_{i,j}p_i\,\lvert \langle r_i | s_j \rangle \rvert ^2\ln q_j=S(\hat\rho)+D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\tag{3.2.4}$$

となり、2つの固有基底の重なり $\lvert \langle r_i | s_j \rangle \rvert ^2$ が入る。左辺は古典の交差エントロピー $-\sum p\ln q$ の量子版で、式 (3.2.4) は古典の「交差エントロピー $=H(p)+D(p\,\|\,q)$」と同じ形をしている。

証明

交換するエルミート行列は同時に対角化できる。同じ基底で $\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma=\sum_k(\ln p_k-\ln q_k)| k \rangle \langle k |$ なので、$\hat\rho$ を掛けてトレースをとると $\sum_kp_k\ln(p_k/q_k)$ になる。

したがって、古典の確率分布は対角な密度行列とみなせ、この章の結果は古典の結果を含む。逆に、交換しない2つの状態では、$D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)$ は2つの固有値の分布 $p$ と $q$ だけでは決まらず、固有基底がどれだけずれているかにもよる。

量子ビットでの計算

量子ビットの密度行列は、Bloch ベクトル $\bm{r}=(r_x,r_y,r_z)$（$\lvert \bm{r}\rvert \le1$）で

$$\hat\rho=\frac12\bigl(\mathbf 1+r_xX+r_yY+r_zZ\bigr)=\frac12(\mathbf 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma})\tag{3.2.5}$$

と書ける（前の章の Bloch 表示。$\bm{\sigma}=(X,Y,Z)$ は行列を並べた記号）。$(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=\mathbf 1$（$\lvert \bm{n}\rvert =1$）なので$\bm{r}\cdot\bm{\sigma}$ の固有値は $\pm\lvert \bm{r}\rvert$ で、$\hat\rho$ の固有値は $(1\pm r)/2$（$r=\lvert \bm{r}\rvert$）である。よって

$$S(\hat\rho)=h_{\mathrm b}\Bigl(\frac{1+r}{2}\Bigr)\tag{3.2.6}$$

で、$r=1$（純粋状態）で $0$、$r=0$（$\hat\rho=\mathbf 1/2$）で最大値 $\ln2$ をとる。$\ln\hat\sigma$ も同じ形で、$\hat\sigma=\frac12(\mathbf 1+s\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma})$（$\lvert \bm{n}\rvert =1$、$0\le s<1$）なら固有値 $q_\pm=(1\pm s)/2$ を使って

$$\ln\hat\sigma=\frac{\ln q_++\ln q_-}{2}\,\mathbf 1+\frac{\ln q_+-\ln q_-}{2}\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma} =\frac12\ln\frac{1-s^2}{4}\,\mathbf 1+\operatorname{artanh}(s)\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}\tag{3.2.7}$$

となる。$\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}\bigr)=\bm{r}\cdot\bm{n}$ を使えば、$D$ は Bloch ベクトルだけで計算することができる。

この章で比べる状態の組

$S$ と $D$ は式 (3.2.4) でつながっているので、相手 $\hat\sigma$ をうまく選ぶと、エントロピーに関する量はすべて $D$ で書くことができる。この章で使う組を先に表にしておく。