比べる2つの状態：密度行列

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第1章 §3.1.1　★★★ 確率的に混ぜた状態を $\hat\rho=\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |$ で書く。測定の統計は $\hat\rho$ だけで決まり、量子ビットの状態は Bloch 球の点になる

第1部では、比べる対象は2つの確率分布 $p$ と $q$ で、それに当てる処理は確率行列 $W$ だった。第1部第4章 で示したデータ処理不等式 $D(Wp\,\|\,Wq)\le D(p\,\|\,q)$ は、同じ処理を2つの分布に当てると相対エントロピーが増えないことを述べている。この部では、同じ形の主張を量子系で立てる。そのためにまず、量子系で「確率分布」と「確率行列」に当たるものを用意しなければならない。それがこの章の2つの主役、密度行列 $\hat\rho$ と量子チャネル $\mathcal N$ である。

密度行列は、状態ベクトルの確率的な混合と、大きな系の一部分の状態の両方を、1つの行列で書く道具である。対角成分だけを持つ密度行列は確率分布そのものなので、密度行列は確率分布を含む広い対象になっている。量子チャネルは、密度行列を密度行列へ移す写像のうち、物理的に実現できるものの全体である。ユニタリな時間発展・測定して結果を忘れる操作・環境との相互作用による緩和は、どれも量子チャネルになる。確率行列 $W$ も、対角の密度行列に当てる量子チャネルとして含まれる。

この章で比べる2つの状態は、一般の密度行列 $\hat\rho$ と $\hat\sigma$、およびそれらを同じチャネルに通した $\mathcal N(\hat\rho)$ と $\mathcal N(\hat\sigma)$ である。量子相対エントロピー $D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)$ の定義は次の章（第3部第2章）で行い、その単調性（量子データ処理不等式）は第3部第3章で示す。この章では、それより先に示せる単調性として、2つの状態を測定で見分ける最善の成功確率（Helstrom の定理）がチャネルを通すと下がらないこと、すなわちトレース距離がチャネルで増えないことを示す。量子チャネルの3つの表示（Kraus 表示・Stinespring 表示・Choi 行列）は、この単調性の証明にも、次の2章での量子データ処理不等式の証明にも使う。

この章の対数は自然対数とする。量子ビットの Pauli 行列は記法の正本に従って $X,Y,Z$ と書き、$Z| 0 \rangle =| 0 \rangle$、$Z| 1 \rangle =-| 1 \rangle$ とする。恒等演算子は $\mathbf 1$ と書く。Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ はすべて有限次元（次元 $d$）とする。演算子には帽子を付けるが、Pauli 行列と Kraus 演算子以外の決まった行列（Choi 行列 $C$ など）には付けない。

状態ベクトルの混合

量子系を状態 $| \psi_1 \rangle$ に用意するか $| \psi_2 \rangle$ に用意するかを、コインを投げて確率 $p_1$, $p_2$ で決めるとする。受け取った側はどちらが用意されたかを知らない。この系で観測量 $\hat A$ を測ったときの期待値は、それぞれの状態での期待値を確率で平均したもので、

$$\langle \hat A \rangle =\sum_ip_i\langle \psi_i | \hat A | \psi_i \rangle =\sum_ip_i\operatorname{Tr}\bigl(| \psi_i \rangle \langle \psi_i |\hat A\bigr)=\operatorname{Tr}\Bigl(\Bigl(\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |\Bigr)\hat A\Bigr)$$

と書き直せる。最後の式は、期待値が行列 $\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |$ と $\hat A$ だけで決まることを示している。測定の結果 $m$ が出る確率も、結果 $m$ への射影子 $\hat P_m$ の期待値なので、同じ行列で決まる。

式 (3.1.1) の形から、密度行列は次の3つの性質を持つ。(i) エルミート：$\hat\rho^\dagger=\hat\rho$。(ii) 半正定値：任意の $| \phi \rangle$ について $\langle \phi | \hat\rho | \phi \rangle =\sum_ip_i\lvert \langle \phi | \psi_i \rangle \rvert ^2\ge0$。$\hat\rho\ge0$ と書く。(iii) トレースが $1$：$\operatorname{Tr}\hat\rho=\sum_ip_i\langle \psi_i | \psi_i \rangle =1$。逆に、この3つを満たす行列は、固有値分解 $\hat\rho=\sum_k\lambda_k| e_k \rangle \langle e_k |$ を見ると固有値 $\lambda_k$ が非負で和が $1$ なので、アンサンブル $\{\lambda_k,| e_k \rangle \}$ の密度行列になっている。以後、(i)〜(iii) を満たす行列を密度行列（状態）と呼ぶ。

1つの状態ベクトル $| \psi \rangle$ だけからなる $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ を純粋状態、そうでないものを混合状態と呼ぶ。純粋かどうかは $\operatorname{Tr}\hat\rho^2=\sum_k\lambda_k^2$（純粋度）で判定することができる。$\lambda_k$ が確率分布なので $\operatorname{Tr}\hat\rho^2\le1$ で、等号は固有値の1つが $1$ のとき、すなわち純粋状態のときに限る。最も混ざった状態は $\hat\rho=\mathbf 1/d$ で、純粋度は最小値 $1/d$ をとる。

同じ密度行列になる別のアンサンブル

密度行列からアンサンブルは1通りに決まらない。量子ビットで $\{\tfrac12,| 0 \rangle ;\ \tfrac12,| 1 \rangle \}$ と $\{\tfrac12,| + \rangle ;\ \tfrac12,| - \rangle \}$（$| \pm \rangle =(| 0 \rangle \pm| 1 \rangle )/\sqrt2$）を比べると、

$$\tfrac12| 0 \rangle \langle 0 |+\tfrac12| 1 \rangle \langle 1 |=\tfrac12\mathbf 1=\tfrac12| + \rangle \langle + |+\tfrac12| - \rangle \langle - |$$

で、どちらも同じ密度行列になる。定義 3.1.1 により、どんな測定の統計も密度行列だけで決まるので、この2つの用意の仕方は、受け取った側がどんな測定をしても区別することができない。「どのアンサンブルから来たか」は物理的な意味を持たず、意味を持つのは密度行列だけである。この事実は、第1部で確率分布 $p$ を「推論する側の知識」として扱った見方と整合する。受け取った側の知識は $\hat\rho$ に尽きている。

確率分布は対角の密度行列

正規直交基底 $\{| x \rangle \}$ について対角な密度行列 $\hat\rho=\sum_xp(x)| x \rangle \langle x |$ は、確率分布 $p$ と同じ情報を持つ。この基底での測定の結果の分布が $p$ であり、対角な行列どうしは交換するので、対角な密度行列だけを扱う限り量子論は古典の確率論と同じになる。量子に特有のことは、非対角成分（コヒーレンス）と、互いに交換しない2つの密度行列から生じる。この部で古典の結果を量子へ移すときは、まず対角の場合に古典の式へ戻ることを確かめる。

量子ビットと Bloch 球

$d=2$ では、エルミートでトレースが $1$ の行列は実数 $r_x,r_y,r_z$ を使って

$$\hat\rho=\frac12\bigl(\mathbf 1+r_xX+r_yY+r_zZ\bigr),\qquad r_j=\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\sigma_j)\quad(\sigma_j=X,Y,Z)\tag{3.1.2}$$

と一通りに書ける（$\mathbf 1,X,Y,Z$ がトレース内積について直交し、Pauli 行列のトレースが $0$ だから）。$\bm{r}=(r_x,r_y,r_z)$ を Bloch ベクトルと呼ぶ。$r_xX+r_yY+r_zZ$ の2乗は $\lvert \bm{r}\rvert ^2\mathbf 1$ なので、その固有値は $\pm\lvert \bm{r}\rvert$ で、$\hat\rho$ の固有値は $(1\pm\lvert \bm{r}\rvert )/2$ である。したがって $\hat\rho\ge0$ は $\lvert \bm{r}\rvert \le1$ と同値で、量子ビットの状態は半径 $1$ の球（Bloch 球）の点と1対1に対応する。純粋度は $\operatorname{Tr}\hat\rho^2=(1+\lvert \bm{r}\rvert ^2)/2$ で、純粋状態は球面上、$\mathbf 1/2$ は中心にある。$| 0 \rangle$ は北極 $(0,0,1)$、$| 1 \rangle$ は南極、$| \pm \rangle$ は $(\pm1,0,0)$ である。前の小節の2つのアンサンブルは、南北の極を等確率で混ぜても、東西の点を等確率で混ぜても、どちらも中心になることを表している。