相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第1章 §3.1.2 ★★★ 全体が純粋でも、一部分だけを見ると混合状態になる。部分トレースで部分系の密度行列を作り、逆にどんな混合状態も大きな系の純粋状態の一部として書けることを示す
部分トレース
2つの系 A A A B B B H A ⊗ H B \mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B H A ⊗ H B ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B A A A A ^ ⊗ 1 B \hat A\otimes\mathbf 1_B A ^ ⊗ 1 B A A A
定義 3.1.2（部分トレース）
H B \mathcal{H}_B H B { ∣ b ⟩ } \{| b \rangle \} { ∣ b ⟩}
Tr B ρ ^ A B = ∑ b ( 1 A ⊗ ⟨ b ∣ ) ρ ^ A B ( 1 A ⊗ ∣ b ⟩ ) (3.1.3) \operatorname{Tr}_B\hat\rho_{AB}=\sum_b\bigl(\mathbf 1_A\otimes\langle b |\bigr)\,\hat\rho_{AB}\,\bigl(\mathbf 1_A\otimes| b \rangle \bigr)\tag{3.1.3} Tr B ρ ^ A B = b ∑ ( 1 A ⊗ ⟨ b ∣ ) ρ ^ A B ( 1 A ⊗ ∣ b ⟩ ) ( 3.1.3 )
と定め、ρ ^ A = Tr B ρ ^ A B \hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho_{AB} ρ ^ A = Tr B ρ ^ A B A A A 縮約密度行列 と呼ぶ。成分で書くと ( ρ ^ A ) a a ′ = ∑ b ( ρ ^ A B ) a b , a ′ b (\hat\rho_A)_{aa'}=\sum_b(\hat\rho_{AB})_{ab,a'b} ( ρ ^ A ) a a ′ = ∑ b ( ρ ^ A B ) ab , a ′ b
定義から、すべての A ^ \hat A A ^
Tr A B [ ρ ^ A B ( A ^ ⊗ 1 B ) ] = Tr A [ ρ ^ A A ^ ] (3.1.4) \operatorname{Tr}_{AB}\bigl[\hat\rho_{AB}(\hat A\otimes\mathbf 1_B)\bigr]=\operatorname{Tr}_A\bigl[\hat\rho_A\hat A\bigr]\tag{3.1.4} Tr A B [ ρ ^ A B ( A ^ ⊗ 1 B ) ] = Tr A [ ρ ^ A A ^ ] ( 3.1.4 )
が成り立つ。左辺のトレースを ∣ a ⟩ ⊗ ∣ b ⟩ | a \rangle \otimes| b \rangle ∣ a ⟩ ⊗ ∣ b ⟩ b b b A ^ \hat A A ^ (3.1.4) を満たす行列は1つしかないので（A ^ \hat A A ^ ∣ a ′ ⟩ ⟨ a ∣ | a' \rangle \langle a | ∣ a ′ ⟩ ⟨ a ∣ { ∣ b ⟩ } \{| b \rangle \} { ∣ b ⟩} ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A 1 1 1 p ( x , y ) p(x,y) p ( x , y ) p ( x ) = ∑ y p ( x , y ) p(x)=\sum_yp(x,y) p ( x ) = ∑ y p ( x , y ) ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B
古典と違うのは、全体が純粋状態でも ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ∣ Φ + ⟩ = ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ ) / 2 | \Phi^+ \rangle =(| 00 \rangle +| 11 \rangle )/\sqrt2 ∣ Φ + ⟩ = ( ∣00 ⟩ + ∣11 ⟩) / 2 ρ ^ A = 1 / 2 \hat\rho_A=\mathbf 1/2 ρ ^ A = 1 /2 A A A エンタングルした状態 である（第3部第4章 ）。
遠くで測っても縮約密度行列は変わらない
B B B B B B A A A A A A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A B B B { ∣ b ⟩ } \{| b \rangle \} { ∣ b ⟩} b b b p b = Tr [ ρ ^ A B ( 1 ⊗ ∣ b ⟩ ⟨ b ∣ ) ] p_b=\operatorname{Tr}\bigl[\hat\rho_{AB}(\mathbf 1\otimes| b \rangle \langle b |)\bigr] p b = Tr [ ρ ^ A B ( 1 ⊗ ∣ b ⟩ ⟨ b ∣ ) ] A A A ( 1 ⊗ ⟨ b ∣ ) ρ ^ A B ( 1 ⊗ ∣ b ⟩ ) / p b (\mathbf 1\otimes\langle b |)\hat\rho_{AB}(\mathbf 1\otimes| b \rangle )/p_b ( 1 ⊗ ⟨ b ∣ ) ρ ^ A B ( 1 ⊗ ∣ b ⟩) / p b (3.1.3) の右辺そのものになる。B B B A A A B B B A A A
純粋化
逆向きの操作も常に行うことができる。ρ ^ A = ∑ k λ k ∣ e k ⟩ ⟨ e k ∣ \hat\rho_A=\sum_k\lambda_k| e_k \rangle \langle e_k | ρ ^ A = ∑ k λ k ∣ e k ⟩ ⟨ e k ∣ A A A R R R { ∣ k ⟩ R } \{| k \rangle _R\} { ∣ k ⟩ R }
∣ Ψ ⟩ A R = ∑ k λ k ∣ e k ⟩ A ⊗ ∣ k ⟩ R (3.1.5) | \Psi \rangle _{AR}=\sum_k\sqrt{\lambda_k}\,| e_k \rangle _A\otimes| k \rangle _R\tag{3.1.5} ∣Ψ ⟩ A R = k ∑ λ k ∣ e k ⟩ A ⊗ ∣ k ⟩ R ( 3.1.5 )
とおくと、Tr R ∣ Ψ ⟩ ⟨ Ψ ∣ = ∑ k , l λ k λ l ∣ e k ⟩ ⟨ e l ∣ ⟨ l ∣ k ⟩ = ρ ^ A \operatorname{Tr}_R| \Psi \rangle \langle \Psi |=\sum_{k,l}\sqrt{\lambda_k\lambda_l}\,| e_k \rangle \langle e_l |\langle l | k \rangle =\hat\rho_A Tr R ∣Ψ ⟩ ⟨ Ψ∣ = ∑ k , l λ k λ l ∣ e k ⟩ ⟨ e l ∣ ⟨ l ∣ k ⟩ = ρ ^ A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A 純粋化 と呼ぶ。式 (3.1.5) の形（2つの系の正規直交基底の対の和）を Schmidt 分解 と呼び、第3部第4章で一般の純粋状態について示す。この形から、全体が純粋なら ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ρ ^ R = Tr A ∣ Ψ ⟩ ⟨ Ψ ∣ = ∑ k λ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \hat\rho_R=\operatorname{Tr}_A| \Psi \rangle \langle \Psi |=\sum_k\lambda_k| k \rangle \langle k | ρ ^ R = Tr A ∣Ψ ⟩ ⟨ Ψ∣ = ∑ k λ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ R R R ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A R R R 3.1.4 節では、この読み方をチャネルに広げる（Stinespring 表示）。
例題 3.1.2 部分トレースと遠くの測定 ★★★
オリジナル 2量子ビットの状態 ∣ ψ ⟩ A B = ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ ) / 3 | \psi \rangle _{AB}=(| 00 \rangle +| 01 \rangle +| 10 \rangle )/\sqrt3 ∣ ψ ⟩ A B = ( ∣00 ⟩ + ∣01 ⟩ + ∣10 ⟩) / 3 A A A B B B
ρ ^ A = Tr B ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B| \psi \rangle \langle \psi | ρ ^ A = Tr B ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ B B B { ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ } \{| 0 \rangle ,| 1 \rangle \} { ∣0 ⟩ , ∣1 ⟩} A A A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A B B B { ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ } \{| + \rangle ,| - \rangle \} { ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩} A A A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A
解答
∣ ψ ⟩ = ∣ 0 ⟩ A ⊗ ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ 3 + ∣ 1 ⟩ A ⊗ ∣ 0 ⟩ 3 | \psi \rangle =| 0 \rangle _A\otimes\frac{| 0 \rangle +| 1 \rangle }{\sqrt3}+| 1 \rangle _A\otimes\frac{| 0 \rangle }{\sqrt3} ∣ ψ ⟩ = ∣0 ⟩ A ⊗ 3 ∣0 ⟩ + ∣1 ⟩ + ∣1 ⟩ A ⊗ 3 ∣0 ⟩ A A A ( ρ ^ A ) a a ′ (\hat\rho_A)_{aa'} ( ρ ^ A ) a a ′ B B B ( ρ ^ A ) 00 = 2 3 (\hat\rho_A)_{00}=\frac23 ( ρ ^ A ) 00 = 3 2 ( ρ ^ A ) 11 = 1 3 (\hat\rho_A)_{11}=\frac13 ( ρ ^ A ) 11 = 3 1 ( ρ ^ A ) 01 = 1 3 ⟨ 0 ∣ 0 + 1 ⟩ = 1 3 (\hat\rho_A)_{01}=\frac{1}{3}\langle 0 | 0+1 \rangle =\frac13 ( ρ ^ A ) 01 = 3 1 ⟨ 0∣0 + 1 ⟩ = 3 1 ρ ^ A = ( 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ) \hat\rho_A=\begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&1/3\end{pmatrix} ρ ^ A = ( 2/3 1/3 1/3 1/3 ) 4 + 1 + 1 + 1 9 = 7 9 < 1 \frac{4+1+1+1}{9}=\frac79<1 9 4 + 1 + 1 + 1 = 9 7 < 1 λ 2 − λ + 1 9 = 0 \lambda^2-\lambda+\frac19=0 λ 2 − λ + 9 1 = 0 ( 3 ± 5 ) / 6 = 0.8727 , 0.1273 (3\pm\sqrt5)/6=0.8727,\ 0.1273 ( 3 ± 5 ) /6 = 0.8727 , 0.1273 ∣ ψ ⟩ = ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ 3 ⊗ ∣ 0 ⟩ B + ∣ 0 ⟩ 3 ⊗ ∣ 1 ⟩ B | \psi \rangle =\frac{| 0 \rangle +| 1 \rangle }{\sqrt3}\otimes| 0 \rangle _B+\frac{| 0 \rangle }{\sqrt3}\otimes| 1 \rangle _B ∣ ψ ⟩ = 3 ∣0 ⟩ + ∣1 ⟩ ⊗ ∣0 ⟩ B + 3 ∣0 ⟩ ⊗ ∣1 ⟩ B B B B 0 0 0 2 3 \frac23 3 2 A A A ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ 1 1 1 1 3 \frac13 3 1 A A A ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ 2 3 ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ + 1 3 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ = 2 3 ⋅ 1 2 ( 1 1 1 1 ) + 1 3 ( 1 0 0 0 ) = ( 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ) = ρ ^ A \frac23| + \rangle \langle + |+\frac13| 0 \rangle \langle 0 |=\frac23\cdot\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}+\frac13\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&1/3\end{pmatrix}=\hat\rho_A 3 2 ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ + 3 1 ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ = 3 2 ⋅ 2 1 ( 1 1 1 1 ) + 3 1 ( 1 0 0 0 ) = ( 2/3 1/3 1/3 1/3 ) = ρ ^ A ⟨ ± ∣ B ∣ ψ ⟩ = 1 3 ( ∣ 0 ⟩ 1 ± 1 2 + ∣ 1 ⟩ 1 2 ) \langle \pm |_B| \psi \rangle =\frac{1}{\sqrt3}\bigl(| 0 \rangle \tfrac{1\pm1}{\sqrt2}+| 1 \rangle \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) ⟨ ± ∣ B ∣ ψ ⟩ = 3 1 ( ∣0 ⟩ 2 1 ± 1 + ∣1 ⟩ 2 1 ) + + + A A A ( 2 ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 6 (2| 0 \rangle +| 1 \rangle )/\sqrt6 ( 2∣0 ⟩ + ∣1 ⟩) / 6 − - − ∣ 1 ⟩ / 6 | 1 \rangle /\sqrt6 ∣1 ⟩ / 6 5 / 6 5/6 5/6 1 / 6 1/6 1/6 1 6 ( 4 2 2 1 ) + 1 6 ( 0 0 0 1 ) = ( 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ) \frac16\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}+\frac16\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&1/3\end{pmatrix} 6 1 ( 4 2 2 1 ) + 6 1 ( 0 0 0 1 ) = ( 2/3 1/3 1/3 1/3 ) A A A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A B B B A A A
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
