相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第1章 §3.1.3 ★★★ 物理的に許される状態の変換は N ( ρ ^ ) = ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † \mathcal N(\hat\rho)=\sum_a\hat K_a\hat\rho\hat K_a^\dagger N ( ρ ^ ) = ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † ∑ a K ^ a † K ^ a = 1 \sum_a\hat K_a^\dagger\hat K_a=\mathbf 1 ∑ a K ^ a † K ^ a = 1
チャネルに要る3つの条件
状態を状態へ移す写像 N \mathcal N N
線型性 。確率 p p p ρ ^ 1 \hat\rho_1 ρ ^ 1 1 − p 1-p 1 − p ρ ^ 2 \hat\rho_2 ρ ^ 2 N \mathcal N N N \mathcal N N N ( p ρ ^ 1 + ( 1 − p ) ρ ^ 2 ) = p N ( ρ ^ 1 ) + ( 1 − p ) N ( ρ ^ 2 ) \mathcal N(p\hat\rho_1+(1-p)\hat\rho_2)=p\mathcal N(\hat\rho_1)+(1-p)\mathcal N(\hat\rho_2) N ( p ρ ^ 1 + ( 1 − p ) ρ ^ 2 ) = p N ( ρ ^ 1 ) + ( 1 − p ) N ( ρ ^ 2 )
トレースを保つこと 。Tr N ( ρ ^ ) = Tr ρ ^ \operatorname{Tr}\mathcal N(\hat\rho)=\operatorname{Tr}\hat\rho Tr N ( ρ ^ ) = Tr ρ ^ 1 1 1
完全正値性 。ρ ^ ≥ 0 \hat\rho\ge0 ρ ^ ≥ 0 N ( ρ ^ ) ≥ 0 \mathcal N(\hat\rho)\ge0 N ( ρ ^ ) ≥ 0 正値性 ）だけでは足りない。系 A A A N \mathcal N N R R R i d R ⊗ N \mathrm{id}_R\otimes\mathcal N id R ⊗ N R R R ρ ^ R A ≥ 0 \hat\rho_{RA}\ge0 ρ ^ R A ≥ 0 ( i d R ⊗ N ) ( ρ ^ R A ) ≥ 0 (\mathrm{id}_R\otimes\mathcal N)(\hat\rho_{RA})\ge0 ( id R ⊗ N ) ( ρ ^ R A ) ≥ 0 完全正値 （completely positive）という。正値だが完全正値でない写像は実際に存在する（3.1.4 節の転置）。
定義 3.1.3（量子チャネル）
H A \mathcal{H}_A H A H B \mathcal{H}_B H B N \mathcal N N 量子チャネル と呼ぶ。
Kraus 表示
行列 K ^ a : H A → H B \hat K_a:\mathcal{H}_A\to\mathcal{H}_B K ^ a : H A → H B a = 1 , … , n a=1,\dots,n a = 1 , … , n
∑ a K ^ a † K ^ a = 1 A (3.1.6) \sum_a\hat K_a^\dagger\hat K_a=\mathbf 1_A\tag{3.1.6} a ∑ K ^ a † K ^ a = 1 A ( 3.1.6 )
を満たすとき、
N ( ρ ^ ) = ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † (3.1.7) \mathcal N(\hat\rho)=\sum_a\hat K_a\hat\rho\hat K_a^\dagger\tag{3.1.7} N ( ρ ^ ) = a ∑ K ^ a ρ ^ K ^ a † ( 3.1.7 )
は量子チャネルである。トレースを保つことは Tr ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † = Tr ( ∑ a K ^ a † K ^ a ρ ^ ) = Tr ρ ^ \operatorname{Tr}\sum_a\hat K_a\hat\rho\hat K_a^\dagger=\operatorname{Tr}\bigl(\sum_a\hat K_a^\dagger\hat K_a\hat\rho\bigr)=\operatorname{Tr}\hat\rho Tr ∑ a K ^ a ρ ^ K ^ a † = Tr ( ∑ a K ^ a † K ^ a ρ ^ ) = Tr ρ ^ ( i d R ⊗ N ) ( ρ ^ R A ) = ∑ a ( 1 R ⊗ K ^ a ) ρ ^ R A ( 1 R ⊗ K ^ a ) † (\mathrm{id}_R\otimes\mathcal N)(\hat\rho_{RA})=\sum_a(\mathbf 1_R\otimes\hat K_a)\hat\rho_{RA}(\mathbf 1_R\otimes\hat K_a)^\dagger ( id R ⊗ N ) ( ρ ^ R A ) = ∑ a ( 1 R ⊗ K ^ a ) ρ ^ R A ( 1 R ⊗ K ^ a ) † M ^ ρ ^ M ^ † \hat M\hat\rho\hat M^\dagger M ^ ρ ^ M ^ † K ^ a \hat K_a K ^ a Kraus 演算子 、式 (3.1.7) を Kraus 表示 と呼ぶ1 1 K. Kraus (1971), Ann. Phys. 64, 311–335。3.1.6 ）を示す。
Kraus 表示は「確率的に起きる複数の出来事」として読める。純粋状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∑ a K ^ a ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ K ^ a † = ∑ a p a ∣ ψ a ⟩ ⟨ ψ a ∣ \sum_a\hat K_a| \psi \rangle \langle \psi |\hat K_a^\dagger=\sum_ap_a| \psi_a \rangle \langle \psi_a | ∑ a K ^ a ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ K ^ a † = ∑ a p a ∣ ψ a ⟩ ⟨ ψ a ∣ p a = ∥ K ^ a ∣ ψ ⟩ ∥ 2 p_a=\lVert \hat K_a| \psi \rangle \rVert ^2 p a = ∥ K ^ a ∣ ψ ⟩ ∥ 2 ∣ ψ a ⟩ = K ^ a ∣ ψ ⟩ / p a | \psi_a \rangle =\hat K_a| \psi \rangle /\sqrt{p_a} ∣ ψ a ⟩ = K ^ a ∣ ψ ⟩ / p a p a p_a p a a a a ∣ ψ a ⟩ | \psi_a \rangle ∣ ψ a ⟩ (3.1.6) から ∑ a p a = 1 \sum_ap_a=1 ∑ a p a = 1
量子ビットの代表的なチャネル
ユニタリ 。Kraus 演算子が1つ K ^ = U ^ \hat K=\hat U K ^ = U ^ N ( ρ ^ ) = U ^ ρ ^ U ^ † \mathcal N(\hat\rho)=\hat U\hat\rho\hat U^\dagger N ( ρ ^ ) = U ^ ρ ^ U ^ †
位相反転 。確率 p p p Z Z Z K ^ 0 = 1 − p 1 \hat K_0=\sqrt{1-p}\,\mathbf 1 K ^ 0 = 1 − p 1 K ^ 1 = p Z \hat K_1=\sqrt p\,Z K ^ 1 = p Z Z Z Z X , Y X,Y X , Y Z Z Z ( r x , r y , r z ) ↦ ( ( 1 − 2 p ) r x , ( 1 − 2 p ) r y , r z ) (r_x,r_y,r_z)\mapsto\bigl((1-2p)r_x,(1-2p)r_y,r_z\bigr) ( r x , r y , r z ) ↦ ( ( 1 − 2 p ) r x , ( 1 − 2 p ) r y , r z ) r z r_z r z 1 − 2 p 1-2p 1 − 2 p
偏極解消 。− 1 / 3 ≤ λ ≤ 1 -1/3\le\lambda\le1 − 1/3 ≤ λ ≤ 1 K ^ 0 = ( 1 + 3 λ ) / 4 1 \hat K_0=\sqrt{(1+3\lambda)/4}\,\mathbf 1 K ^ 0 = ( 1 + 3 λ ) /4 1 K ^ 1 , 2 , 3 = ( 1 − λ ) / 4 X , Y , Z \hat K_{1,2,3}=\sqrt{(1-\lambda)/4}\,X,\ Y,\ Z K ^ 1 , 2 , 3 = ( 1 − λ ) /4 X , Y , Z X , Y , Z X,Y,Z X , Y , Z − 1 / 3 -1/3 − 1/3 r ↦ λ r \bm{r}\mapsto\lambda\bm{r} r ↦ λ r N ( ρ ^ ) = λ ρ ^ + ( 1 − λ ) 1 / 2 \mathcal N(\hat\rho)=\lambda\hat\rho+(1-\lambda)\mathbf 1/2 N ( ρ ^ ) = λ ρ ^ + ( 1 − λ ) 1 /2 λ \lambda λ [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] [ − 1 / 3 , 1 ] [-1/3,1] [ − 1/3 , 1 ] 3.1.4 節で示す。
振幅減衰 。∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ γ \gamma γ
K ^ 0 = ( 1 0 0 1 − γ ) , K ^ 1 = ( 0 γ 0 0 ) = γ ∣ 0 ⟩ ⟨ 1 ∣ (3.1.8) \hat K_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\qquad \hat K_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix}=\sqrt\gamma\,| 0 \rangle \langle 1 |\tag{3.1.8} K ^ 0 = ( 1 0 0 1 − γ ) , K ^ 1 = ( 0 0 γ 0 ) = γ ∣0 ⟩ ⟨ 1∣ ( 3.1.8 )
で書く。K ^ 0 † K ^ 0 + K ^ 1 † K ^ 1 = d i a g ( 1 , 1 − γ ) + d i a g ( 0 , γ ) = 1 \hat K_0^\dagger\hat K_0+\hat K_1^\dagger\hat K_1=\mathrm{diag}(1,1-\gamma)+\mathrm{diag}(0,\gamma)=\mathbf 1 K ^ 0 † K ^ 0 + K ^ 1 † K ^ 1 = diag ( 1 , 1 − γ ) + diag ( 0 , γ ) = 1 K ^ 1 \hat K_1 K ^ 1 K ^ 0 \hat K_0 K ^ 0 K ^ 0 \hat K_0 K ^ 0 ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ 1 − γ \sqrt{1-\gamma} 1 − γ
( r x , r y , r z ) ↦ ( 1 − γ r x , 1 − γ r y , γ + ( 1 − γ ) r z ) (3.1.9) (r_x,r_y,r_z)\mapsto\bigl(\sqrt{1-\gamma}\,r_x,\ \sqrt{1-\gamma}\,r_y,\ \gamma+(1-\gamma)r_z\bigr)\tag{3.1.9} ( r x , r y , r z ) ↦ ( 1 − γ r x , 1 − γ r y , γ + ( 1 − γ ) r z ) ( 3.1.9 )
と変わる。γ → 1 \gamma\to1 γ → 1 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ z z z 1 − γ 1-\gamma 1 − γ 1 − γ \sqrt{1-\gamma} 1 − γ γ \gamma γ 3.1.1 ）。
図 3.1.1 振幅減衰 γ = 1 / 2 \gamma=1/2 γ = 1/2 r x r_x r x r z r_z r z ( 0 , 1 / 2 ) (0,1/2) ( 0 , 1/2 ) 1 / 2 = 0.7071 1/\sqrt2=0.7071 1/ 2 = 0.7071 1 / 2 1/2 1/2 ∣ 1 ⟩ ↦ 1 / 2 | 1 \rangle \mapsto\mathbf 1/2 ∣1 ⟩ ↦ 1 /2 ∣ + ⟩ ↦ ( 1 / 2 , 0 , 1 / 2 ) | + \rangle \mapsto(1/\sqrt2,0,1/2) ∣ + ⟩ ↦ ( 1/ 2 , 0 , 1/2 ) ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ (3.1.9) から描いた厳密な像
確率行列は量子チャネルの特別な場合
振幅減衰を対角の密度行列 d i a g ( p 0 , p 1 ) \mathrm{diag}(p_0,p_1) diag ( p 0 , p 1 ) d i a g ( p 0 + γ p 1 , ( 1 − γ ) p 1 ) \mathrm{diag}(p_0+\gamma p_1,\ (1-\gamma)p_1) diag ( p 0 + γ p 1 , ( 1 − γ ) p 1 )
W = ( 1 γ 0 1 − γ ) W=\begin{pmatrix}1&\gamma\\0&1-\gamma\end{pmatrix} W = ( 1 0 γ 1 − γ )
を確率分布 ( p 0 , p 1 ) (p_0,p_1) ( p 0 , p 1 ) 1 1 1 W ( y ∣ x ) W(y\,|\,x) W ( y ∣ x )
K ^ x y = W ( y ∣ x ) ∣ y ⟩ ⟨ x ∣ (3.1.10) \hat K_{xy}=\sqrt{W(y\,|\,x)}\,| y \rangle \langle x |\tag{3.1.10} K ^ x y = W ( y ∣ x ) ∣ y ⟩ ⟨ x ∣ ( 3.1.10 )
で量子チャネルとして書ける。∑ x , y K ^ x y † K ^ x y = ∑ x , y W ( y ∣ x ) ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ = 1 \sum_{x,y}\hat K_{xy}^\dagger\hat K_{xy}=\sum_{x,y}W(y\,|\,x)| x \rangle \langle x |=\mathbf 1 ∑ x , y K ^ x y † K ^ x y = ∑ x , y W ( y ∣ x ) ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ = 1 ∑ x p ( x ) ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ \sum_xp(x)| x \rangle \langle x | ∑ x p ( x ) ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ∑ y ( W p ) ( y ) ∣ y ⟩ ⟨ y ∣ \sum_y(Wp)(y)| y \rangle \langle y | ∑ y ( W p ) ( y ) ∣ y ⟩ ⟨ y ∣
Kraus 表示の任意性
同じチャネルを表す Kraus 演算子の組は1通りではない。位相反転 p = 1 / 2 p=1/2 p = 1/2 { 1 2 1 , 1 2 Z } \{\tfrac{1}{\sqrt2}\mathbf 1,\ \tfrac{1}{\sqrt2}Z\} { 2 1 1 , 2 1 Z } { ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ , ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ } \{| 0 \rangle \langle 0 |,\ | 1 \rangle \langle 1 |\} { ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ , ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ } Z Z Z 0 0 0
∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ = 1 2 ( 1 2 1 + 1 2 Z ) , ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ = 1 2 ( 1 2 1 − 1 2 Z ) | 0 \rangle \langle 0 |=\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}\mathbf 1+\tfrac{1}{\sqrt2}Z\Bigr),\qquad | 1 \rangle \langle 1 |=\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}\mathbf 1-\tfrac{1}{\sqrt2}Z\Bigr) ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ = 2 1 ( 2 1 1 + 2 1 Z ) , ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ = 2 1 ( 2 1 1 − 2 1 Z )
と、ユニタリ行列 u = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) u=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} u = 2 1 ( 1 1 1 − 1 ) K ^ i ′ = ∑ j u i j K ^ j \hat K'_i=\sum_ju_{ij}\hat K_j K ^ i ′ = ∑ j u ij K ^ j u u u 0 0 0 ∑ i K ^ i ′ ρ ^ K ^ i ′ † = ∑ j , l ( ∑ i u i j u i l ‾ ) K ^ j ρ ^ K ^ l † = ∑ j K ^ j ρ ^ K ^ j † \sum_i\hat K'_i\hat\rho\hat K'^\dagger_i=\sum_{j,l}\bigl(\sum_iu_{ij}\overline{u_{il}}\bigr)\hat K_j\hat\rho\hat K_l^\dagger=\sum_j\hat K_j\hat\rho\hat K_j^\dagger ∑ i K ^ i ′ ρ ^ K ^ i ′ † = ∑ j , l ( ∑ i u ij u i l ) K ^ j ρ ^ K ^ l † = ∑ j K ^ j ρ ^ K ^ j † Z Z Z Z Z Z 3.1.1 節で見た、同じ密度行列になるアンサンブルの任意性と同じ構造である。
例題 3.1.3 振幅減衰で ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩
オリジナル 振幅減衰 (3.1.8) を ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩
出力の密度行列と Bloch ベクトルを γ \gamma γ γ = 0.36 \gamma=0.36 γ = 0.36
出力の純粋度を γ \gamma γ γ = 0.36 \gamma=0.36 γ = 0.36
純粋度が最小になる γ \gamma γ γ → 1 \gamma\to1 γ → 1 1 1 1
解答
K ^ 0 ∣ + ⟩ = ( ∣ 0 ⟩ + 1 − γ ∣ 1 ⟩ ) / 2 \hat K_0| + \rangle =(| 0 \rangle +\sqrt{1-\gamma}| 1 \rangle )/\sqrt2 K ^ 0 ∣ + ⟩ = ( ∣0 ⟩ + 1 − γ ∣1 ⟩) / 2 K ^ 1 ∣ + ⟩ = γ ∣ 0 ⟩ / 2 \hat K_1| + \rangle =\sqrt{\gamma}| 0 \rangle /\sqrt2 K ^ 1 ∣ + ⟩ = γ ∣0 ⟩ / 2
N ( ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ ) = 1 2 ( 1 1 − γ 1 − γ 1 − γ ) + 1 2 ( γ 0 0 0 ) = 1 2 ( 1 + γ 1 − γ 1 − γ 1 − γ ) . \mathcal N(| + \rangle \langle + |)=\frac12\begin{pmatrix}1&\sqrt{1-\gamma}\\\sqrt{1-\gamma}&1-\gamma\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}\gamma&0\\0&0\end{pmatrix}
=\frac12\begin{pmatrix}1+\gamma&\sqrt{1-\gamma}\\\sqrt{1-\gamma}&1-\gamma\end{pmatrix}. N ( ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ ) = 2 1 ( 1 1 − γ 1 − γ 1 − γ ) + 2 1 ( γ 0 0 0 ) = 2 1 ( 1 + γ 1 − γ 1 − γ 1 − γ ) .
Bloch ベクトルは ( 1 − γ , 0 , γ ) (\sqrt{1-\gamma},\,0,\,\gamma) ( 1 − γ , 0 , γ ) (3.1.9) に ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) γ = 0.36 \gamma=0.36 γ = 0.36 ( 0.68 0.4 0.4 0.32 ) \begin{pmatrix}0.68&0.4\\0.4&0.32\end{pmatrix} ( 0.68 0.4 0.4 0.32 ) ( 0.8 , 0 , 0.36 ) (0.8,0,0.36) ( 0.8 , 0 , 0.36 ) Tr ρ ^ 2 = ( 1 + ∣ r ∣ 2 ) / 2 = ( 1 + ( 1 − γ ) + γ 2 ) / 2 = ( 2 − γ + γ 2 ) / 2 \operatorname{Tr}\hat\rho^2=(1+\lvert \bm{r}\rvert ^2)/2=\bigl(1+(1-\gamma)+\gamma^2\bigr)/2=(2-\gamma+\gamma^2)/2 Tr ρ ^ 2 = ( 1 + ∣ r ∣ 2 ) /2 = ( 1 + ( 1 − γ ) + γ 2 ) /2 = ( 2 − γ + γ 2 ) /2 γ = 0.36 \gamma=0.36 γ = 0.36 ( 1 + 0.64 + 0.1296 ) / 2 = 0.8848 (1+0.64+0.1296)/2=0.8848 ( 1 + 0.64 + 0.1296 ) /2 = 0.8848 d d γ ( 2 − γ + γ 2 ) = − 1 + 2 γ = 0 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \gamma}(2-\gamma+\gamma^2)=-1+2\gamma=0 d γ d ( 2 − γ + γ 2 ) = − 1 + 2 γ = 0 γ = 1 / 2 \gamma=1/2 γ = 1/2 ( 2 − 1 2 + 1 4 ) / 2 = 7 / 8 (2-\tfrac12+\tfrac14)/2=7/8 ( 2 − 2 1 + 4 1 ) /2 = 7/8 γ \gamma γ γ → 1 \gamma\to1 γ → 1 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ K ^ 0 , K ^ 1 \hat K_0,\hat K_1 K ^ 0 , K ^ 1 γ \gamma γ
1 K. Kraus (1971), Ann. Phys. 64, 311–335。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
